Objetivo

• Obtener por fórmula la derivada del cociente de dos funciones algebraicas no compuestas.
• Obtener por fórmula la derivada del cociente de dos funciones trascendentes no compuestas.
• Obtener por fórmula la derivada del cociente de una función algebraica y una trascendente no compuestas.

Fórmulas

Para obtener la derivada del cociente de dos funciones, se aplica la siguiente regla:

la derivada del numerador por el denominador menos el numerador por la derivada del denominador, todo dividido entre el cuadrado del denominador. $$\Big(\frac{f}{g}\Big)'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g^{}(x))^{2}}$$

Esta regla se cumple siempre y cuando $g(x)$ sea distinto de cero para toda $x$.

Justificación

Veamos la demostración de la fórmula de la derivada de un cociente de funciones:

$$\Big(\frac{f}{g}\Big)'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^{2}}$$

Sean $f$ y $g$ funciones continuas y derivables. Recuerda que, la definición de la derivada de una función es

$$f'(x)=\lim_{∆x \to 0}{\frac{f(x+∆x)-f(x)}{∆x}}$$

Al usar esta definición para obtener la derivada del cociente de las funciones $f$ y $g$ escribimos

$$\Big(\frac{f}{g}\Big)'(x)= \lim_{∆x \to 0}{\frac{\frac{f(x+∆x)}{g(x+∆x)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{∆x}}$$

Se factoriza el común denominador

$$=\lim_{∆x \to 0}{\frac{\frac{f(x+∆x)g(x)-f(x)g(x+∆x)}{g(x+∆x)g(x)}}{∆x}}$$

Se simplifica

$$\begin{aligned} &= \lim_{∆x \to 0}{\frac{f(x+∆x)g(x)-f(x)g(x+∆x)}{∆x g(x+∆x)g(x)}} \\ &= \lim_{∆x \to 0}{\frac{f(x+∆x)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+∆x)}{∆xg(x+∆x)g(x)}} \\ &= \lim_{∆x \to 0}{\frac{g(x)(f(x+∆x)-f(x))-f(x)(g(x+∆x)-g(x))}{∆x g(x+∆x)g(x)}} \\ &= \frac{\lim_{∆x \to 0}{} \frac{g(x)(f(x+∆x)-f(x))}{∆x}-\lim_{∆x \to 0}\frac{f(x)(g(x+∆x)-g(x))}{∆x}}{\lim_{∆x \to 0}g(x+∆x)g(x)} \\ &= \frac{g(x)\lim_{∆x \to 0}{} \frac{(f(x+∆x)-f(x))}{∆x}-f(x)\lim_{∆x \to 0}\frac{(g(x+∆x)-g(x))}{∆x}}{\lim_{∆x \to 0}g(x+∆x)g(x)} \\ &= \frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g(x)g(x)} \\ &= \frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^{2}} \end{aligned}$$

Ejemplos

Ejercicios

Encuentra la derivada de las funciones que se presentan, luego introdúcela rellenando los campos de texto. Si el valor es correcto, al presionar ↵ se desactivará el campo, de lo contrario revisa tus cálculos e introduce el valor corregido. Pulsa el botón Otro, para generar mas ejercicios.

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