Operaciones con funciones y sus derivadas
Derivadas de productos de dos funciones

Objetivos

En esta unidad se cubrirán los siguientes objetivos:

Fórmulas

Para obtener la derivada del producto de dos funciones, se aplica la siguiente regla:

el primer factor por la derivada del segundo más el segundo factor por la derivada del primero $$(f·g)'(x)=f(x)g'(x)+g(x)f'(x)$$

Justificación

Veamos la demostración de la fórmula de la derivada de un producto de funciones:

$$(f·g)'(x)=f (x)·g'(x)+g(x)·f'(x)$$

Recuerda que, la definición de la derivada de una función es

$$f'(x)=\lim_{∆x \to 0}{\frac{f(x+∆x)-f(x)}{∆x}}$$

Al usar esta definición para obtener la derivada de la función $f(x)·g(x)$ escribimos

$$(f·g)'(x)=\lim_{∆x \to 0}{\frac{f(x+∆x)g(x+∆x)-f(x)g(x)}{∆x}}$$

Ahora, hay que sumar y restar el término $f(x+∆x)g(x)$. Esto no afectará a la expresión, pues un número, menos él mismo, es cero. Esto se hace con miras a factorizar $f(x+∆x)$ y $g(x)$.

$$=\lim_{∆x \to 0}{\frac{f(x+∆x)g(x+∆x)-f(x+∆x)g(x)+f(x+∆x)g(x)-f(x)g(x)}{∆x}}$$

Al factorizar $f(x+∆x)$ y $g(x)$ se obtiene

$$=\lim_{∆x \to 0}{\frac{f(x+∆x)(g(x+∆x)-g(x))+g(x)(f(x+∆x)-f(x))}{∆x}}$$

y, como el límite de una suma es la suma de los límites, entonces

$$=\lim_{∆x \to 0}{f(x+∆x)\frac{g(x+∆x)-g(x)}{∆x}+\lim_{∆x \to 0}{g(x)} \frac{f(x+∆x)-f(x)}{∆x}}$$

y el límite de un producto es el producto de los límites

$$=\lim_{∆x \to 0}{f(x+∆x)}\lim_{∆x \to 0}{\frac{g(x+∆x)-g(x)}{∆x}+\lim_{∆x \to 0}{g(x)}\lim_{∆x \to 0}{\frac{f(x+∆x)-f(x)}{∆x}}}$$

reescribimos como

$$=(\lim_{∆x \to 0}{f(x+∆x)})g'(x)+(\lim_{∆x \to 0}{g(x)})f'(x)$$

pero $\displaystyle \lim_{∆x \to 0}{f(x+∆x)}=f(x)$ y $\displaystyle \lim_{∆x \to 0}{g(x)}=g(x)$, entonces

$$(f·g)'(x)=f(x)·g'(x)+g(x)·f'(x)$$

Observación 1. Hay que notar que la regla de la derivada del producto de dos funciones se puede generalizar para el caso de más de dos funciones. Por ejemplo, para el producto de tres funciones se tiene

$$(f_{1}·f_{2}·f_{3})'(x)=f_{1}'(x)f_{2}(x)f_{3}(x)+f_{1}(x)f_{2}'(x)f_{3}(x)+f_{1}(x)f_{2}(x)f_{3}'(x)$$

Utiliza el siguiente cuadro interactivo para repasar la fórmula de la derivada de un producto de funciones. Arrastra y suelta las expresiones faltantes en el lugar correcto.

Ejemplos

En el siguiente cuadro interactivo se muestran ejemplos de la derivada del producto de dos funciones.

Ejercicios

Resuelve los siguientes ejercicios. Si deseas ver cómo se resuelve el ejercicio, pulsa el botón Ver solución.


Esta unidad ha sido revisada, adaptada y corregida en mayo de 2022 para ser publicada en la Web de RED Descartes dentro del subproyecto denominado Prometeo, manteniendo el mismo nombre que le dieron en la versión original, cuyos créditos se reflejan después de este apartado.

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Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

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