Derivadas de las funciones básicas
Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales

Objetivos

Obtener por fórmula, la derivada de alguna de las siguientes funciones:

Procedimiento

Para obtener las derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales se sigue la fórmula correspondiente. Las fórmulas se muestran a continuación.

$\displaystyle \frac{d}{dx}ln\;x=\displaystyle \frac{1}{x}$ $\displaystyle \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}$

$\displaystyle \frac{d}{dx}log_{a} x=\displaystyle \frac{1}{x}log_{a} e$ $\displaystyle \frac{d}{dx}a^{x}=a^{x}ln\;a$

La manera de emplearlas se muestra más adelante, en la sección de ejemplos.

Justificación

Obtención de la fórmula de la derivada de $\displaystyle \frac{d}{dx}a^{x}$, que en este caso se obtiene mediante derivación implícita.

$$y=a^{x}$$

Aplicando $ln$ en ambos miembros tenemos

$$\begin{aligned} ln\;y &= ln(a^{x})\\ ln\;y &= x\;ln\;a \end{aligned}$$

y derivando implícitamente queda

$$\begin{aligned} \frac{1}{y} y' &= (1)ln\;a \\ y' &= y\;ln\;a \end{aligned}$$

Sustituyendo la función inicial, obtenemos la fórmula buscada

$$\frac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\;ln\;$$

La fórmula de $y=e^{x}$ se obtiene de manera similar, pero las que incluyen logaritmos se obtienen aplicando la definición con el límite y las propiedades de los logaritmos.

Ejemplos

Selecciona la fórmula que deseas observar en el ejemplo y después presiona el botón Continuar para ver el procedimiento de ésta.

Ejercicios

Escribe el resultado que se obtiene al derivar la función planteada.

Nota del revisor:

La calculadora que se proporciona para dar el resultado rotula el logarirmo neperiano con $log$ en vez de $ln$.

El error admitido en la expresión decimal debe de ser menor que 0,01.


Esta unidad ha sido revisada, adaptada y corregida en mayo de 2022 para ser publicada en la Web de RED Descartes dentro del subproyecto denominado Prometeo, manteniendo el mismo nombre que le dieron en la versión original, cuyos créditos se reflejan después de este apartado.

Actualización: Ángel Cabezudo Bueno


Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autor: Octavio Fonseca Ramos

Editores académicos: José Luis Abreu León y Carlos Hernández Garciadiego

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Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

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Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

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Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

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