Objetivos

Introducción al concepto de derivada. Cálculo de la derivada usando el concepto de límite.

• Obtener para una función $f(x)$ el incremento $f(x+h)-f(x)$
• Obtener para una función $f(x)$ la razón $\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
• Obtener para una función $f(x)$ el límite de la razón $\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ cuando $h$ tiende a $0$

Conceptos básicos

Procedimiento

La pendiente de la recta verde que pasa por los puntos $P(x_{0},f(x_{0}))$ y $Q(x_{0}+h,f(x_{0}+h))$ es

$$\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}$$

así que la pendiente de la recta roja, que es tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(x_{0},f(x_{0}))$ es

$$m=\lim_{h \to 0}{\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$$

Este número recibe el nombre de Derivada de $f$ en $x_{0}$, y se denota mediante el símbolo $f'(x_{0})$, así

$$f'(x_{0})=\lim_{h \to 0}{\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$$

Para calcular este límite de una manera sistemática, se suelen utilizar los llamados

Cuatro pasos de la derivación

1. Calcular el valor $f(x_{0}+h)$, que aparece en el numerador.
2. Calcular la diferencia $f(x_{0}+h)-f(x_{0})$, que aparece en el numerador.
3. Calcular el cociente $\displaystyle \frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}$ y simplificar lo más posible.
4. Calcular el límite del resultado anterior, cuando $h$ tiende a $0$.

Ejemplos

Ejercicios

En los siguientes ejercicios, cada vez que escribas un resultado en un campo de texto, oprime ↵. Si las respuestas del renglón son correctas podrás continuar; si no, deberás corregirlas.