Objetivo

Obtener algebráicamente el punto de discontinuidad de una función.

Conceptos básicos

Nota: Debido a que es más natural el concepto de continuidad que el de límite, es conveniente estudiar primero las lecciones de continuidad y después las de límite.

Si una función está definida en un punto $p$, decimos que es continua en ese punto si $f(x)$ es casi igual a $f(p)$ para toda $x$ que sea casi igual a $p$. En símbolos escribimos:

Si $x≈p$ entonces $f(x)≈ f(p)$

donde el símbolo $≈$ sirve para indicar que dos números son muy parecidos (casi iguales).

Nota del revisor:

Intuitivamente entenderemos que una función $y=f(x)$ es continua en un intervalo del dominio si podemos dibujar su gráfica de un solo trazo. Si en algún punto "se rompe" diremos que presenta una discontinuidad en dicho punto. Algunos ejemplos o tipos de discontinuidades se muestran en la siguiente imagen:

La discontinuidad se dice que es $evitable$ cuando basta asignar al hueco existente el valor que debe tener la función en $a$ para hacerla continua. Son los casos $1$ y $2$ de la imagen. Cuando la discontinuidad no es $evitable$ en $a$, se dice que hay una discontinuidad $esencial$ en $a$, casos $3$, $4$ y $5$.

La gran mayoría de las funciones que utilizamos cotidianamente son continuas en todos los números donde están definidas.

• Las funciones polinomiales $f(x)=c_{n}x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+...+c_{1}x+c_{0}$ son continuas en todos los reales.

• Las funciones racionales, es decir, los cocientes de funciones polinomiales

  $$h(x)= \frac{f(x)}{g(x)}$$

  son continuas en todos los números $p$ para los cuales $g(p)≠0$.

• Las funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante son continuas en todos los números donde están definidas.
• Las funciones logarítmo y exponencial son continuas en todos los números donde están definidas.
• La suma, el producto y el cociente de funciones continuas es continua en todos los puntos donde están definidas.

Justificación

Veamos una justificación de la última afirmación, lo haremos en un lenguaje coloquial: La prueba rigurosa, utilizando la definición estricta ($ε$, $δ$) sigue las mismas ideas.

Si $f$ y $g$ son continuas en un punto $p$ y si $x$ está en el dominio de $f$ y de $g$ y es casi igual a $p$, entonces $f(x)$ es casi igual a $f(p)$ y $g(x)$ es casi igual a $g(p)$ así que:

• $f(x)+g(x)$ es casi igual a $f(p)+g(p)$.
• $f(x)g(x)$ es casi igual a $f(p)g(p)$.
• $\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}$ es casi igual a $\displaystyle \frac{f(p)}{g(p)}$ si $g(x)$ y $g(p)$ son distintos de cero.

De hecho, estas propiedades son las que utilizamos cuando hacemos operaciones con una calculadora ya que ellas trabajan con aproximaciones de 8 decimales de los números exactos, y los resultados obtenidos al sumar, restar, multiplicar o dividirlos están cercanos a los resultados exactos.

En la siguiente escena elige un tipo de función y observa en la gráfica la cercanía entre $x$ y $p$ y entre $f(x)$ y $f(p)$.

En la gráfica, puedes hacer zoom con las flechas de la esquina y arrastrar el plano para desplazarlo.

Procedimiento

A continuación, identifiquemos algebráicamente los números donde una función es discontinua, es decir, donde no es continua.

• Si una función no está definida en un número, ni siquiera tiene sentido preguntarse si es continua.
• Una función $f$ definida en un número $p$ es discontinua en $p$ si hay números $x$ muy cercanos a $p$ para los cuales el valor de la función ahí, $f(x)$ está lejos de $f(p)$.

Ejemplos

Ejercicios

Intenta contestar los siguientes ejercicios sin ayuda de la gráfica, seleccionando la letra de la opción correcta. En caso de que lo necesites, oprime el botón Ver gráfica. Ubica en la gráfica el punto $x$ al que debes determinar su continuidad, posiblemente necesites hacer zoom en la gráfica con las flechas que están en la esquina inferior derecha o arrastrar el plano para desplazarlo.