Continuidad
Puntos de discontinuidad de una función

Objetivo

Obtener, a partir de su gráfica, el punto de discontinuidad de una función.

Conceptos básicos

Nota. Esta lección está escrita de manera que el concepto de continuidad no dependa del concepto de límite. Ya que es mucho más natural el concepto de continuidad que el de límite. Más aún, nuestra sugerencia es que primero se vea el tema de continuidad y luego el de límite.

Si una función está definida en un punto $p$, decimos que es continua en ese punto si $f(x)$ es casi igual a $f(p)$ para toda $x$ que sea casi igual a $p$. En símbolos escribimos:

Si $x ≈ p$, entonces $f(x) ≈ f(p)$

donde el símbolo $≈$ sirve para indicar que dos números son muy parecidos (casi iguales).

Nota del revisor:

Intuitivamente entenderemos que una función $y=f(x)$ es continua en un intervalo del dominio si podemos dibujar su gráfica de un solo trazo. Si en algún punto "se rompe" diremos que presenta una discontinuidad en dicho punto. Algunos ejemplos o tipos de discontinuidades se muestran en la siguiente imagen:

La discontinuidad se dice que es $evitable$ cuando basta asignar al hueco existente el valor que debe tener la función en $a$ para hacerla continua. Son los casos $1$ y $2$ de la imagen. Cuando la discontinuidad no es $evitable$ en $a$, se dice que hay una discontinuidad $esencial$ en $a$, casos $3$, $4$ y $5$.

La gran mayoría de las funciones que utilizamos cotidianamente son continuas en todos los números donde están definidas.

En la gráfica puedes hacer zoom con el pulsador de la esquina inferior derecha y también puedes arrastrar el plano para desplazarlo.

Procedimiento

Vamos ahora a identificar geométricamente los números donde una función es discontinua, es decir, donde no es continua.

Ejemplos

Ejercicios

Para resolver los siguientes ejercicios, posiblemente necesites hacer zoom con las flechas de la esquina de la imagen o arrastrar el plano para desplazarlo.


Esta unidad ha sido revisada, adaptada y corregida en abril de 2022 para ser publicada en la Web de RED Descartes dentro del subproyecto denominado Prometeo, manteniendo el mismo nombre que le dieron en la versión original, cuyos créditos se reflejan después de este apartado.

Actualización: Ángel Cabezudo Bueno


Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autor: Carlos Hernández Garciadiego

Edición académica: Carlos Hernández Garciadiego

Edición técnica: Carlos Hernández Garciadiego


Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi


Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Juan José Rivaud Gallardo

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán


Actualización tecnológica y de estilo, 2019.

Actualización: Joel Espinosa Longi


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