Cálculo de límites de funciones
Límites de funciones algebraicas con indeterminación usando racionalización

Objetivo

Obtener por racionalización el valor del límite de una función que dé lugar a una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$.

Conceptos básicos

Nota: Debido a que es más natural el concepto de continuidad que el de límite, es conveniente estudiar primero las lecciones de continuidad y después las de límite.

Si una función $y=f(x)$ es continua en $x=a$, entonces el valor del límite de ella, cuando $x$ tiende a $a$ es $f(a)$; es decir,

$$\lim_{x \to a}{f(x)=f(a)}$$

La gran mayoría de las funciones que utilizamos cotidianamente son continuas en todos los valores de $x$ donde están definidas.

Cuando la función no está definida en $a$ porque presenta alguna indeterminación, es necesario buscar un valor $L$ tal que haga continua la función en $a$.

Un caso frecuente es cuando la función es cociente de dos funciones

$$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$$

que se anulan en $a$, es decir, $g(a)=0$ y $h(a)=0$, y además una de ellas tiene un factor de la forma $\sqrt{x}-\sqrt{a}$ o de la forma $\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{a}$. En este caso no podemos utilizar la regla del cociente de límites, pues

$$\lim_{x \to a}{h(x)}=0$$

Procedimiento

Para resolver este tipo de límites, conviene recordar algunos productos notables:

$$\tag{1} (p-q)(p+q)=p^{2}-q^{2}$$

y

$$\tag{2} (p-q)(p^{2}+pq+q^{2})=p^{3}-q^{3}$$

El factor por el que se multiplica a $(p-q)$ para obtener una diferencia de cuadrados en la ecuación (1) o una diferencia de cubos en la ecuación (2) se llama factor conjugado.

Si en la ecuación (1) se sustituye $p=\sqrt{a}$ y $q=\sqrt{b}$ se obtiene

$$\tag{3} (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b$$

Y si en la ecuación (2) se sustituye $p=\sqrt[3]{a}$ y $q=\sqrt[2]{b}$ se obtiene

$$\tag{4} (\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})((\sqrt[3]{a})^{2}+\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}+(\sqrt[3]{b})^{2})=a-b$$

Para resolver este tipo de límites se multiplica el numerador y el denominador de la función dada por el conjugado del binomio que contiene radicales usando las fórmulas (3) y (4)

Ejemplos

Ejercicios

En los siguientes ejercicios, escribe las respuestas en los cuadros de texto y oprime ↵. Si la respuesta es correcta, se inhabilitará el cuadro y podrás continuar. En estos campos puedes escribir expresiones aritméticas, por ejemplo, $3+5$, $pi/2$, $4\text{\textasciicircum}3$ (para elevar al cubo), $6\text{\textasciicircum}(1/3)$ (para sacar raíz cúbica), etc.


Esta unidad ha sido revisada, adaptada y corregida en abril de 2022 para ser publicada en la Web de RED Descartes dentro del subproyecto denominado Prometeo, manteniendo el mismo nombre que le dieron en la versión original, cuyos créditos se reflejan después de este apartado.

Actualización: Ángel Cabezudo Bueno


Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autor: Carlos Hernández Garciadiego

Edición académica: Carlos Hernández Garciadiego y José Luis Abreu León

Edición técnica: Octavio Fonseca Ramos


Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi


Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Juan José Rivaud Gallardo

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán


Actualización tecnológica y de estilo, 2019.

Actualización: Joel Espinosa Longi


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