Funciones trigonométricas
Periodo de la función $f(x)=a·sen(bx+c)+d$

Objetivo

Determinar el periodo en la función $f(x)=a·sen(bx+c)+d$.

Procedimiento

El periodo de la función $f(x)=a·sen(bx+c)+d$ sólo depende del valor de $b$. Utiliza el siguiente recuadro interactivo y observa que al cambiar los valores de $a$, $c$ o $d$, el periodo de la función no cambia siempre y cuando el valor de $b$ permanezca fijo. Para cambiar el valor de $b$ pulsa el botón Otro ejemplo.

Solución

Recuerda que para una función periódica $f$ de periodo $p$ se tiene que $f(x)=f(x+p)$ para todo valor de $x$. Si multiplicas ambos lados de la igualdad por algún número $a$ y les sumas otro número $d$, obtienes $a·f(x)+d=a·f(x+p)+d$ que sigue siendo periódica y del mismo periodo $p$. De manera que la función $f(x)=a·sen(bx+c)+d$ tiene el mismo periodo que la función $g(x)=sen(bx+c)$.

Por otro lado, al ser $f$ periódica con periodo $p$, $f(u)=f(u+p)$ para cualquier valor de $u$. Tomando $u=x+c$ donde $c$ es una constante, tenemos que la función $g(x)=f(x+c)$ también es periódica y con $p$ como periodo. Así, la función $f(x)=a·sen(bx+c)+d$ tiene el mismo periodo que $f(x)=sen(bx)$.

Ya que $h(x)=bx$ es lineal, se obtiene el periodo de $f(x)=sen(bx)$ tomando el valor absoluto de la diferencia entre los valores de $x$ que, al aplicarles $h$, dan como resultado $0$ y $2π$, es decir $x=0$ y $x=\displaystyle \frac{2π}{b}$. Así, el periodo de la función $f(x)=a·sen(bx+c)+d$ es $|\displaystyle \frac{2π}{b}-0|=\displaystyle \frac{2π}{|b|}$.

Para que puedas variar el valor de $b$ en el recuadro interactivo anterior regresa al recuadro y oprime el botón Otro ejemplo.

Ejercicios

Encuentra el periodo de las siguientes funciones.


Esta unidad ha sido revisada, adaptada y corregida en marzo de 2022 para ser publicada en la Web de RED Descartes dentro del subproyecto denominado Prometeo, corrigiendo el nombre que le dieron en la versión original, cuyos créditos se reflejan después de este apartado.

Actualización: Ángel Cabezudo Bueno


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Edición académica: José Luis Abreu León, Fernando René Martínez Ortiz y Joel Espinosa Longi

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