Objetivo

Determinar la amplitud en la función $f(x)=a·sen(bx+c)+d$.

Procedimiento

En este tipo de funciones, la amplitud sólo depende, en este caso, del valor de a ya que $-1≤sen(x)≤1$ para cualquier valor de $x$, así tenemos que $-1≤sen(bx+c)≤1$ donde siempre es posible alcanzar los valores máximo y mínimo, $1$ y $-1$. Si $a≥0$ entonces, al multiplicar la desigualdad anterior por $a$ y sumar $d$, se tiene que

$$-a+d≤a·sen(bx+c)+d≤a+d$$

y la amplitud $A$ es la mitad de la diferencia entre los valores máximo y mínimo de la función, es decir:

$$A=\frac{(a+d)-(-a+d)}{2}=\frac{2a}{2}=a$$

En el caso en que $a < 0$, al multiplicar la desigualdad $-1≤sen(bx+c)≤1$ por $a$ y sumar $d$, se tiene:

$$-a+d≥a·sen(bx+c)+d≥a+d$$

Nuevamente, al tomar la diferencia entre los valores máximo y mínimo de la función se obtiene que:

$$A=\frac{(-a+d)-(a+d)}{2}=\frac{-2a}{2}=-a$$

Se pueden conjuntar ambos casos en una sola fórmula usando el valor absoluto, de tal manera que la amplitud A de la función $f(x)=a·sen(bx+c)+d$ es:

$$A=|a|$$

Solución

En el siguiente recuadro interactivo aparecen las gráficas de diversas funciones del tipo:

$$f(x)=a·sen(bx+c)+d$$

En éstas puedes cambiar los valores de $b$, $c$ y $d$ mientras que el valor de a permanecerá fijo a menos que oprimas el botón Otro ejemplo. Con el valor de $a$ fijo, observa que todas las funciones que puedes generar tienen siempre la misma amplitud $|a|$.

Para que puedas variar el valor de $a$ en el recuadro interactivo anterior oprime el botón Otro ejemplo

Ejercicios

Encuentra la amplitud de las siguientes funciones.