Propiedades de la elipse
Elipse como lugar geométrico

Objetivo

Identificar a la elipse como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante.

Procedimiento

Se determina la distancia de cada uno de los dos focos a uno de los puntos que forman la elipse, su suma es un número que permanece constante si repetimos este proceso de suma de las distancias a lo largo de todos los puntos del lugar geométrico.

Solución

Para encontrar la ecuación del lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a $F(x_{1},y_{1})$ y $F'(x_{2},y_{2})$ sea una constante $d$, se procede de la siguiente manera:

  1. Se nombra como $P(x,y)$ a uno de los puntos del lugar geométrico, es decir, uno de los puntos que cumple la condición mencionada arriba.
  2. Se suman la distancia de $P$ a $F$ con la de $P$ a $F'$ y se igualan a $d$.
  3. $$d(P,F)+d(P,F')=d$$
  4. Al sustituir en la fórmula de distancia, se obtiene la siguiente ecuación:
  5. $$\sqrt{(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}}+\sqrt{(x-x_{2})^{2}+(y-y_{2})^{2}}=d$$
  6. En la expresión anterior, la primera raíz corresponde a la distancia del punto $P$ a $F$, la segunda raíz es la distancia del punto $P$ a $F'$, las cuales están sumadas e igualadas a la constante.

Para obtener la ecuación del lugar geométrico, se lleva a cabo una simplificación algebraica, que se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo

En el siguiente ejemplo se mostrará todo el desarrollo matemático necesario para determinar la ecuación de una elipse centrada en el origen y los focos $F$ y $F'$ sobre el eje de abcisas. Arrastra el punto $F$ hasta las coordenadas deseadas y posteriormente presiona el botón Continuar.

Ejercicios

1. En una elipse, la suma de las distancias de los focos a cualquier punto de la curva permanece constante. En cada ejercicio, se dan los valores de la suma constante y de uno de los segmentos rectos, escribe la medida del otro.

2. Determina la ecuación de la elipse que cumple con las condiciones dadas, selecciona la respuesta correcta.


Esta unidad ha sido revisada, adaptada y corregida en enero de 2022 para ser publicada en la Web de RED Descartes dentro del subproyecto denominado Prometeo, manteniendo el mismo nombre que le dieron en la versión original, cuyos créditos se reflejan después de este apartado.

Actualización: Ángel Cabezudo Bueno


Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autor: Octavio Fonseca Ramos

Edición académica: Fernando René Martínez Ortiz

Edición técnica: Jose Luis Abreu León, Norma Patricia Apodaca Alvarez y Fernando René Martínez


Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi


Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Octavio Fonseca Ramos

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán


Actualización tecnológica y de estilo, 2019.

Actualización: Joel Espinosa Longi


Los contenidos de esta unidad didáctica interactiva están bajo una licencia Creative Commons, si no se indica lo contrario.

Los componentes interactivos fueron creados con Descartes que es un producto de código abierto.