Objetivo

Obtener la ecuación general de una parábola con vértice en el origen y foco conocido.

Recordatorio

La ecuación ordinaria de una parábola horizontal con vértice en el origen es de la forma:

$y^{2}=4px$, si abre hacia la derecha $y^{2}=-4px$, si abre hacia la izquierda $(1)$

en donde $p$ es la distancia del vértice al foco.

La ecuación ordinaria de una parábola vertical con vértice en el origen es de la forma:

$x^{2}=4py$, si abre hacia arriba $x^{2}=-4py$, si abre hacia abajo $(2)$

en donde $p$ es la distancia del vértice al foco.

La ecuación general de cualquier cónica es de la forma:

$$\tag{3} Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$$

Para pasar de la ecuación ordinaria (1) o (2) a la ecuación (3), simplemente se pasan todos los términos al lado izquierdo de la ecuación.

La parábola es un caso particular de cónica, para la que se cumple que el $discriminante\, B^2-4AC=0$. En esta unidad trabajamos con parábolas con vértice en el origen y eje focal coincidente con el eje $OX$ (parábola horizontal) o coincidente con el eje $OY$ (parábola vertical). Esto significa la la ecuación general de la parábola, en estos casos, tiene una forma simplificada o reducida. Vamos a verlo.

Parábola horizontal con vertice en el origen, $x^2=4px$

1. Pasamos todos los términos en lado izquierdo de la ecuación e igualamos a cero: $x^2-4py=0$
2. Identificando coeficientes en la ecuación genetal (3), tenemos $$A=1,\,B=0,\,C=0,\,D=0,\,E=-4p,\,F=0$$
3. La forma general de la ecuación de esta parabola se reduce a $Ax^2+Ey=0$, con $A=1$ la distancia focal es $p=-E/4$
4. Ejemplo: Describe la parábola en forma general $3x^2-16y=0$
   
   Dividiendo por $3$, hacemos que $A$ valga $1$: $\displaystyle x^2-\frac{16}{3}y=0$
   $\displaystyle E=-\frac{16}{3}$, y por tanto $\displaystyle p=\frac{4}{3}$
   Se trata de una parábola horizontal con foco en $\displaystyle \left(\frac{4}{3},0 \right)$ y por tanto abierta hacia la derecha.

Procedimiento

Para determinar la forma general de la parábola con vértice en el origen y foco conocido:

1. Se calcula $p$, la distancia del vértice, que en este caso es el origen $(0,0)$, al foco.
2. Se utiliza la ecuación (1) o (2) considerando si el foco está en el eje $X$ o en el eje $Y$.
3. Se elige el signo tomando en cuenta la posición del vértice respecto al foco (ver tabla al final del procedimiento).
4. Finalmente, se pasan todos los términos al primer miembro de la ecuación para obtener la ecuación de la parábola en la forma general.

Solución

En el cuadro interactivo (escena), el foco es un control gráfico que puede cambiar de posición. Se puede arrastrar a lo largo del eje y observar cómo se modifica tanto la gráfica, como la ecuación ordinaria de la parábola cuando la abcisa del foco en la parábola horizontal o la ordenada del foco en la parábola vertical asumen valores tanto negativos como positivos. Analiza cada caso y compara dichos resultados con los del recuadro anterior. El pulsador situado en el extremo inferior derecho de los gráficos te permitirá acercar o alejar la imagen.

Parábola horizontal Parábola vertical

Foco en $(h,0)$: Foco en $(0,k)$:

Ejemplos

En el siguiente recuadro interactivo observa cómo se determina la ecuación general de la parábola con centro en el origen y foco $(h,0)$ o $(0,k)$. Presiona el pulsador que se sitúa debajo del ejercicio y avanza en la solución tratando de comprender cada uno de los pasos. Analiza otros ejemplos al dar clic en el botón que se localiza en el extremo inferior derecho del cuadro.

Ejercicios

Determina lo que se te pida en cada caso. Escribe el resultado en los campos de texto del cuadro y presiona ↲. Si tu respuesta es correcta, se inhabilitará el campo; en caso contrario, deberás reintentarlo. Al terminar se desplegará un botón que te permitirá hacer otro ejercicio.