Rectas y puntos notables de un triángulo
Distancia de un punto a una recta

Objetivo

Calcular la distancia de un punto a una recta.

Procedimiento

Considerando una recta $r$ cualquiera y un punto $P$ en el plano, la distancia entre ellos se define como la distancia de $P$ al punto de $r$ que esté más cercano a él. El punto más cercano a $P$ sobre recta es el pie (corte) de la perpendicular sobre la recta trazada desde $P$.
Si $r$ tiene ecuación $Ax+By+C=0$ y $P$ presenta las coordenadas $(x_{0},y_{0})$, entonces, la distancia de $P$ a $r$ está dada por la fórmula:

$$d(P,r) = \frac{\vert Ax_{0}+By_{0}+C \vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$$

Solución

Se sustituyen los coeficientes de la ecuación general de la recta ($A$, $B$ y $C$) y las coordenadas del punto $(x_{0},y_{0})$ en la fórmula anterior. Debido a que una distancia siempre es una cantidad positiva, se toma el valor absoluto del numerador antes de dividir entre el resultado de la raíz cuadrada.

Ejemplo

En el siguiente ejemplo, se describe el procedimiento para determinar la distancia de un punto a una recta conociendo su ecuación general. Arrastra los puntos azules de la recta y rojo del punto para asignarles los valores deseados. Después, presiona el botón Continuar.

El punto $Q$ es el corte con la recta de la perpendicular trazada despe $P$. La distancia de $P$ a la recta, $d(P,r)$, es la longitud del segmento $PQ$.

Ejercicios

En el siguiente ejercicio, se va a determinar la distancia de la recta $r$ al punto $P$. Primero, elige el segmento que representa la distancia a buscar. Posteriormente, introduce el valor de la distancia y presiona el botón Verificar para comprobar tu resultado. Puedes mover el plano arrastrándolo para visualizar correctamente la gráfica.


Esta unidad ha sido revisada, adaptada y corregida en marzo de 2021 para ser publicada en la Web de RED Descartes dentro del subproyecto denominado Prometeo, manteniendo el mismo nombre que le dieron en la versión original, cuyos créditos se reflejan después de este apartado.

Actualización: Ángel Cabezudo Bueno


Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autores: Octavio Fonseca Ramos

Edición académica: Carlos Hernández Garciadiego y Fernando René Martínez Ortiz

Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez y Fernando René Martínez Ortiz


Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi


Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Octavio Fonseca Ramos

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán


Actualización tecnológica y de estilo, 2019.

Actualización: Joel Espinosa Longi


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