Sistemas de dos ecuaciones una lineal y otra cuadrática
Obtener la solución de un sistema de ecuaciones donde una es lineal y la otra cuadrática

Objetivo

Resolver por el método de sustitución un sistema de dos ecuaciones, una ecuación lineal y otra cuadrática.

Procedimiento

Un sistema de ecuaciones con una ecuación lineal y otra cuadrática tiene la forma:

$$\begin{aligned} g x + h y + r &= 0 \\ a x^{2} + b x y + c y^{2} + d x + e y + f &= 0 \end{aligned}$$

y resolverlo significa encontrar números $x$ y $y$ que satisfagan las dos ecuaciones. En esta lección trataremos el caso, cuando $b = 0$ y $c = 0$, es decir, resolveremos el sistema:

$$\tag{1} g x + h y + r = 0$$ $$\tag{2} a x^{2} + d x + e y + f = 0$$

Análisis

Si en la ecuación (2), $a = 0$, entonces, tenemos un sistema de ecuaciones lineales de $2 × 2$, el cual ha sido tratado en otras lecciones, por lo tanto, descartaremos ese caso y supondremos que $a ≠ 0$ y también que en la ecuación (1), $g$ y $h$ no son cero.

Con estas condiciones, lo que se hará es despejar $y$ de la ecuación (1) y sustituir la expresión resultante en la ecuación 2, quedando:

$$\tag{3} y = \frac{-r - g x}{h}$$ $$\tag{4} a x^{2} + d x + e \Big(\frac{-r - g x}{h}\Big) + f = 0$$

De tal manera que al realizar operaciones y agrupar términos semejantes en (4) y queda:

$$\tag{5} a h x^{2} + (d h - e g) x + (f h - e r) = 0$$

Es decir, queda una ecuación de la forma:

$$\tag{6} A x^{2} + B x +C = 0$$

donde: $A =a h$ , $B = d h -e g $ y $C = f h - e r $.

Al resolver (6) y si suponemos que $A≠0$, se pueden tener los siguientes casos:

  1. Ninguna raíz real, en el caso en que: $B^{2} - 4 A C < 0$ El sistema no tiene solución
  2. Una raíz real, en el caso en que: $B^{2} - 4 A C = 0$ El sistema tiene una sola solución
  3. Dos raíces reales, en el caso en que: $B^{2} - 4 A C > 0$ El sistema tiene dos soluciones

Gráficamente, la ecuación lineal representa una recta y la cuadrática una parábola. Por tanto, los tres casos corresponden a las siguientes situaciones gráficas:

  1. La recta y la parábola no se intersectan.
  2. La recta interseca en un solo punto a la parábola.
  3. La recta interseca en dos puntos a la parábola.
Para acomodar la vista de la gráfica en cada ejemplo, será conveniente arrastrar la escena con el puntero o cambiar la escala

Solución

Ejercicios

Resuelve el siguiente sistema en tu cuaderno y comprueba tu respuesta pulsando el botón de Verificar. El programa te dará el resultado con cinco decimales.


Esta unidad ha sido revisada, corregida y actualizada en enero de 2021 para ser publicada en la Web de RED Descartes dentro del subproyecto denominado Prometeo, manteniendo el mismo nombre que le dieron en la versión original, cuyos créditos se reflejan después de este apartado.


Actualización: Ángel Cabezudo Bueno


Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autores: Héctor de Jesús Argueta Villamar y María Juana Linares Altamirano

Edición académica: José Luis Abreu León, Fernando René Martínez Ortiz y Joel Espinosa Longi

Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez


Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi


Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Juan José Rivaud Gallardo

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán


Actualización tecnológica y de estilo, 2019.

Actualización: Joel Espinosa Longi


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