Definición formal de límite
Límites de funciones no continuas
Finalmente mostraremos tres ejemplos de funciones que tienen las mismas características que
los primeros dos ejemplos de funciones no continuas en la sección de Inicio.
Se trata de funciones con discontinuidades no removibles y cuyo límite no
existe, pues cuando \(x\) tiende al valor en donde la función no está definida,
\(f(x)\) ya sea oscila indefinidamente alrededor de dos valores distintos, o bien toma valores arbitrariamente grandes o arbitrariamente pequeños.
A partir de estos ejemplos veremos de manera intuitiva qué significan
El primer ejemplo se trata de la función \[f(x)= \sin \left( \frac{1}{x-a} \right) \] donde \(x \neq a\) para que la función esté bien definida.
Mientras \(x\) se aproxima a \(a\), su recíproco \( \frac{1}/{x-a} \) crece sin límite y los valores de
\(\sin \left(\frac{1}{x-a} \right)\) oscilan repetidamente entre \(-1\) y \(1\). No hay un único número \(L\) tal
que los valores de la función se acerquen cada vez más a él mientras \(x\) se aproxima a \(a\). Esto pasa aunque se restrinjan los valores de \(x\) a valores positivos o a
valores negativos. La función no tiene ni límite por la derecha ni límite por la izquierda.
En esta escena interactiva modifica el control a para observar cómo se modifica la gráfica. Luego mueve el punto \(x\), observa cómo cambia \(f(x)\) y verifica lo anterior. Puedes modificar también la escala y la ubicación del origen del plano cartesiano.
El segundo ejemplo se trata de la función
\[f(x)= \frac{1}{x-b} \]
Mientras \(x\) se aproxima a \(b\) por la derecha, es decir, \(x \to b\) y \(x>b\), \( \frac{1}{x-b} \) crece sin
límite hasta eventualmente alcanzar y sobrepasar cualquier número real positivo. O sea, dado cualquier número real
positivo \(B\), sin importar qué tan grande sea, los valores que toma \(f(x)\) son más grandes que \(B\) para \(x>b\) suficientemente cerca de \(b\). Por lo tanto \(f\) no tiene límite cuando
\(x \to b^+\) y escribimos:
\[\lim_{x \to b^+}f(x)=\infty \]
Esto no significa que el límite existe ni que el límite es un número real \( \infty \), pues
no existe tal número. Más bien estamos diciendo que \(\lim_{x \to b^+} \frac{1}{x-b} \) no existe
porque \(\frac{1}{x-b} \) es arbitrariamente grande y positivo cuando \(x \to b^+\).
Cuando \(x \to b^-\), los valores de \(f(x)=\frac{1}{x-b} \)se vuelven arbitrariamente grandes y negativos. O sea, dado cualquier número real negativo \(-B\), los valores que toma \(f\) eventualmente están por debajo de \(-B\). Por lo tanto \(f\) no tiene límite cuando \(x \to b^-\) y escribimos: \[ \lim_{x \to b^-}f(x)=-\infty \] Nuevamente, esto no significa que el límite existe ni que el límite es un número real \(-\infty \). Estamos describiendo el comportamiento de una función cuyo límite cuando \(x \to b^-\) no existe, pues cuando \( x < b \) está sufiecientemente cerca de \(b\), los valores que toma \(f(x)\) son arbitrariamente grandes y negativos.
En esta escena interactiva modifica el control b para observar cómo se modifica la gráfica. Luego verifica lo anterior dando valores a \(B\) y moviendo el punto \(x\). Puedes modificar también la escala y la ubicación del origen del plano cartesiano.
El tercer ejemplo se trata de la función
\[f(x)=\left( \frac{1}{x-c} \right)^2\]
Intenta describir el comportamiento de \(f(x)\) cuando \(x\) se aproxima a \(c\).
Cuando \(x\) se aproxima a \(c\) por cualquier
lado, los valores de \(\left( \frac{1}{x-c} \right)^2\) aumentan
arbitrariamente, es decir que
\[\lim_{x \to c}f(x)=\lim_{x \to c}\left( \frac{1}{x-c} \right)^2=\infty \]
En este caso los límites laterales
En esta escena interactiva modifica el control c para observar cómo se modifica la gráfica. Luego verifica lo anterior dando valores a \(B\) y moviendo el punto \(x\). Puedes modificar también la escala y la ubicación del origen del plano cartesiano.
Créditos
Escena original
Diseño del contenido | Elsa Sirenia Vega Camacho |
Diseño funcional | Elsa Sirenia Vega Camacho |
Programación | Elsa Sirenia Vega Camacho |
Asesoría de programación | Leticia Montserrat Vargas Rocha |
Diseño gráfico | Ricardo López Gómez |
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha |
Adaptación
Diseño funcional | Elsa Sirenia Vega Camacho |
Programación | Elsa Sirenia Vega Camacho |
Asesoría de programación | Leticia Montserrat Vargas Rocha |
Diseño gráfico | Francisco Varela Fuentes |
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha |
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La unidad didáctica fue creada con Arquímedes, una herramienta de código abierto.
La unidad didáctica contiene escenas elaboradas con Descartes, una herramienta de código abierto.
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