Rotacional y los giros

En el espacio de abajo se muestra una porción de la cubierta de un cuerpo rígido \( B \) girado alrededor de un eje \( L \) . El giro del cuerpo se puede describir como un vector \( w \) a lo largo del eje de rotación, el cuerpo gira alrededor de \( w \), además tomaremos la longitud \( ω=||w|| \) como la rapidez angular del cuerpo \( B \) entre su distancia al eje \( L \).

Sea \( Q \) un punto de \( B \) y \( α \) la distancia de \( Q \) a \( L \), entonces \( α=||r|| \sin θ \), donde \( r \) es el vector que va del origen del sistema de coordenadas al punto \( Q \). Entonces la magnitud de la velocidad es:

\( ||v||= ωα = ω||r|| \sin θ = ||w|| ||r|| \sin θ \)

Esto implica que la magnitud y dirección de \( v \) es \( v = w \)x\( r \). Por la elección de los ejes podemos escribir que \( w = ωk \) y \( r = xi + yj + zk \) de modo que \( v = w\)x\(r = -ωyi + ωxj \) y además,

rot\(v\) \( = \begin{pmatrix} i & j & k\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ -ωy & ωx & 0 \end{pmatrix} = 2ωk = 2w \)

Entonces para la rotación de un cuerpo rígido, el rotacional de un campo vectorial de velocidad es un campo vectorial dirigido a lo largo del eje de rotación con magnitud dos veces la rapidez angular.

En el siguiente espacio se observa cómo se puede representar el giro de un cuerpo si este rota sobre el eje z.

Finalmente lo que podemos ver de un rotacional es que cuando éste se presenta, los vectores del campo se encuentran girando como se muestra a continuación.

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