Ceros de polinomios
Las raíces de un polinomio
En la siguiente escena interactiva se muestran las raíces o los ceros de un polinomio de grado \(n\) con
\(1\leq n\leq 5\) y \(n \in \mathbb{N}\).El objetivo es mostrar la estructura de la gráfica de las partes
real e imaginaria de un polinomio hasta de grado 5 dado en su forma factorizada: \[ p(z)=c(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4)(z-z_5) \]
La parte real del polinomio está dada por \(u(x,y)\) y su gráfica es azul. Su parte
imaginaria está dada por \(v(x,y)\) y su gráfica es roja. Estas gráficas se pueden
graficar en el plano complejo, no así \(p(z)\), que se graficaría en un espacio de
dimensión 4. Al mover los controles gráficos, estás modificando los ceros del polinomio y por lo
tanto las gráficas de \(u(x,y)\) y de \(v(x,y)\).
Cuando el polinomio es de grado 2, las gráficas son hipérbolas que se intersectan
perpendicularmente en los ceros, pues justamente tanto la parte real como la
parte imaginaria son cero en \(z_i\) también. Conforme aumentas \(n\) con el pulsador correspondiente, las gráficas también se modifican y ya no son hipérbolas. ¿Cuál es el ángulo de intersección entre ellas?
Lo importante en todos los casos es que si disminuyes la escala lo suficiente para
que las raíces se vean prácticamente empalmadas en el cero, verás rectas que se
alternan entre azul y roja. Además hay el mismo de número de rectas que el grado
del polinomio y si se modifica el valor del argumento \(b\), estas rectas
simplemente rotan.
Esto quiere decir que al "alejarse" el polinomio de grado \(n\) se comporta como \(z^n\), que como habíamos visto en la sección Inicio, tiene \(n\) raíces.
Los controles gráficos (puntos rojos) son los ceros del polinomio, al moverlos se modifican también las gráficas de \(u(x,y)\) y de \(v(x,y)\),así como al aumentar el valor de \(n\) con el pulsador n. Hay el mismo de número de rectas que el grado del polinomio (\(n\)). El control b modifica el valor del argumento, \(b\), lo que provoca simplemente que las rectas roten.
Créditos
Escena original
Diseño del contenido | Elsa Sirenia Vega Camacho José Luis Abreu León |
Diseño funcional | Elsa Sirenia Vega Camacho José Luis Abreu León |
Programación | Elsa Sirenia Vega Camacho |
Asesoría de programación |
Leticia Montserrat Vargas Rocha José Luis Abreu León |
Diseño gráfico | Ricardo López Gómez |
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha |
Adaptación
Diseño funcional | Elsa Sirenia Vega Camacho |
Programación | Elsa Sirenia Vega Camacho |
Asesoría de programación | Leticia Montserrat Vargas Rocha |
Diseño gráfico | Francisco Varela Fuentes |
Ilustración | Francisco Varela Fuentes |
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha |
Los contenidos de esta unidad didáctica interactiva están bajo una licencia Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-CompartirIgual.
La unidad didáctica fue creada con Arquímedes, una herramienta de código abierto.
La unidad didáctica contiene escenas elaboradas con Descartes, una herramienta de código abierto.
LITE - UnADM 2015