# Solución algebraica del oscilador armónico

Para resolver la ecuación consideraremos primero el caso más sencillo, el movimiento libre no amortiguado. Como no hay fricción ni fuerzas externas la ecuación queda como:

\( m \frac{d^2y}{dt^2} + k y = 0 \),

o bien,

\( \frac{d^2y}{dt^2} + w_0^2 y = 0 \),

donde

\( w^2_0 = \frac{k}{m} \)

Para los fines de este análisis podemos tomar \( k = 1 \) y \( m = 1 \) por lo que nuestro sistema queda como:

\( \frac{d^2y}{dt^2} = -y \)

Esta ecuación es fácil de resolver pues algebráicamente nos esta diciendo que la segunda derivada de \( y(t) \) debe ser \( -y(t) \). Dos funciones que conocemos y que cumplen con estas condiciones son \( sen(t) \) y \( cos(t) \). Entonces podemos tomar \( y(t) = sen(t) \) como solución a nuestro sistema. Esta solución nos dice la posición de la masa al tiempo \( t \), y como ya sabemos, esta función es periódica de amplitud constante, como se esperaba que fuera el movimiento de nuestro sistema, debido a la ausencia de fuerzas externas y fuerzas de fricción.

En el siguiente espacio se muestra el comportamiento de la solución algebráica del oscilador armónico. Pulsa el botón animar para comenzar la animación.

Como podemos ver, la amplitud de \( sen(t) \) esta relacionada con la posición de la masa y específicamente con la condición inicial para \( y = y_0 \), pues entre más se estire el resorte al inicio, la masa estará oscilando con mayor amplitud. Como \( y(t) = sen(t) \) tiene una amplitud fija, hay que tomar otra solución para el sistema, de tal forma que intervengan las condiciones iniciales. La función que más conviene es \( y(t) = a sen(t) \) la cual satisface la ecuación del modelo, y en la que, al sustituir las condiciones inicales, se obtiene el valor de \( a \).

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# Créditos

## Escena original

Diseño del contenido | Víctor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias UNAM, LITE)
Diseño funcional | Víctor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias UNAM, LITE)
Programación | Víctor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias UNAM, LITE)
Diseño gráfico | Ricardo López Gómez
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha

## Adaptación

Diseño funcional | Victor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias, UNAM)
Programación | Victor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias, UNAM)
Diseño gráfico | Francisco Varela Fuentes
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha

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La unidad didáctica fue creada con Arquímedes, una herramienta de código abierto.

La unidad didáctica contiene escenas elaboradas con Descartes, una herramienta de código abierto.

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