## Solución numérica del oscilador armónico

Ahora que se sabe que el movimiento depende de las condiciones iniciales, es importante describir quienes son y de qué forma afectan al sistema. La observación nos permite deducir que el fenómeno tomará un efecto diferente cuando soltamos la masa y le damos un pequeño impulso, que cuando simplemente la soltamos. En otras palabras, una condición inicial es la velocidad con la que se inicia el sistema. La otra condición inicial, como ya vimos anteriormente, es la posición. Las condiciones iniciales son \( y_0 \) y \( v_0=y_0' \).

Para entender mejor estos efectos respecto a las condiciones iniciales vamos a resolver el sistema mediante un sistema de ecuaciones:

\( \frac{d^2y}{dt^2} = -\frac{k}{m} y \)

Sabemos que \( v = \frac{dy}{dt} \). Sustituímos en la ecuación inicial y obtenemos \( \frac{dv}{dt} = - \frac{k}{m} y \).

Estas nuevas ecuaciones forman nuestro sistema y lo podemos resolver por métodos numéricos, los cuales ya hemos mencionado, y obtendremos información a partir del plano fase.

Este método nos da información de cómo es la posición de la masa y su velocidad al tiempo \( t \). Además podemos notar que independientemente de las condiciones iniciales, la solución siempre está dada por una elipse cuyos semiejes sí dependen de dichas condiciones.

Otra cosa que podemos notar es cómo están relacionadas las velocidades con las posiciones.

En el siguiente espacio se muestra el espacio fase de un oscilador armónico. Utiliza los pulsadores para modificar las condiciones inicales. La gráfica de color azul corresponde a la posición de la masa y la roja a su velocidad.

En las dos gráficas se ve que cuando la posición de la masa es cero, la velocidad es máxima, es decir cuando la masa está pasando por el punto de equilibrio lleva la velocidad máxima, ya sea en dirección positiva o negativa, dependiendo de la dirección del movimiento. El otro estado importante es cuando la velocidad es cero, en este punto la posición es máxima en cualquiera de los dos extremos.

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# Créditos

## Escena original

Diseño del contenido | Víctor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias UNAM, LITE)
Diseño funcional | Víctor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias UNAM, LITE)
Programación | Víctor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias UNAM, LITE)
Diseño gráfico | Ricardo López Gómez
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha

## Adaptación

Diseño funcional | Victor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias, UNAM)
Programación | Victor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias, UNAM)
Diseño gráfico | Francisco Varela Fuentes
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha

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La unidad didáctica contiene escenas elaboradas con Descartes, una herramienta de código abierto.

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