## Modelación por medio de sistemas

## Sistema depredador presa

A continuación estudiaremos el modelo del sistema depredador-presa. A través de la aproximación de Euler analizaremos el comportamiento de su solución.

El modelo trata sobre el número de individuos en dos tipos de poblaciones. Una serán las presas y la otra los depredadores. \( R(t) \) representa el número de presas al tiempo \( t \) , y \( F(t) \) denota la poblacion de depredadores. Cabe mencionar que tanto \( R(t) \) como \( F(t) \) son positivas, y además la unidad puede representar miles, millones, o cualquier otro múltiplo de la unidad. El sistema estará representado como:

\begin{equation} \label{eq1} \begin{split} \frac{dR}{dt} & = 2R - 1.2 RF \\ \frac{dF}{dt} & = -F + 0.9 RF \end{split} \end{equation}

El término \( 2R \) representa un crecimiento exponencial de las presas en ausencia de depredadores. El término \( -1.2RF \) corresponde al deceso debido a interacciones entre especies. La expresión \( -F \) representa deceso de depredadores debido a auscencia de presas, y \( 0.9RF \) es el aumento de depredadores debido a la interacción entre especies. Los coeficientes \( 2, -1.2, -1 \) y \( 0.9 \) son factores característicos de las especies implicadas, así que estos varían con otras especies implicadas. La presencia de los términos \( RF \) en las ecuaciones dificulta resolver el sistema, por lo que en este caso es necesario la ayuda de métodos numéricos.

Para este problema no se puede obtener una ecuación que represente la solución general, pero las condiciones iniciales nos ayudan a encontrar una aproximación y además ciertos resultados interesantes. Si \( R=0 \) y \( F=0 \) al evaluarlas en el sistema, nos damos cuenta que cuando aumenta el valor de \( t \), las poblaciones tienden a cero, este resultado es esperado físicamente debido a que como no hay presas ni depredadores, es imposible el crecimiento de el número de sus poblaciones.
Este tipo de valores de \( R \) y \( F \) son soluciones de la ecuación y se llaman puntos de equilibrio debido a que el sistema se mantiene estable, conforme \( t \) aumenta \( R \) y \( F \) se mantienen constantes. Un sistema puede tener más de un punto de equilibrio con implicaciones más interesantes y diferentes.

En el siguiente espacio elige valores iniciales de \( R_0 \) y \( F_0 \) para encontrar soluciones por el método de Euler. Repite varias veces hasta identificar un punto de equilibrio. En la segunda parte se muestra el analisis de las gráficas de forma idependiente.

Cuando pruebas con valores de \( R_0 = 1.12 \) y \( F(t) = 1.68 \), la solución nos dice que el sistema se encuentra en equilibrio perfecto, es decir, existen suficientes presas para mantener constante la población de depredadores y no hay demasiados depredadores que pudieran disminuir la población de presas. Si analizas las funciones por separado podemos ver que resulta un poco difícil, pero en este caso de los dos tipos de gráficas podemos notar que el comportamiento de la solución del sistema es similar independientemente de las condiciones iniciales.
Finalmente podemos concluir que dadas las cantidades iniciales de las poblaciones, estas tienden a incrementarse, en algún momento, los depredadores comienzan a consumir en exceso las presas, éstas comienzan a disminuir, provocando que mueran los depredadores debido a la falta de alimento. Como los depredadores disminuyeron, el número de presas comienza a aumentar. Finalmente los pocos depredadores restantes comienzan a alimentarse (habiendo nuevas presas) aumentando su población. El proceso entra en un ciclo repitiendo los pasos anteriores. Este comportamiento se identifica en las gráficas debido a que estas forman curvas cerradas repitiendose conforme avanza el tiempo.

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# Créditos

## Escena original

Diseño del contenido | Víctor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias UNAM, LITE)
Diseño funcional | Víctor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias UNAM, LITE)
Programación | Víctor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias UNAM, LITE)
Diseño gráfico | Ricardo López Gómez
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha

## Adaptación

Diseño funcional | Victor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias, UNAM)
Programación | Victor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias, UNAM)
Diseño gráfico | Francisco Varela Fuentes
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha

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La unidad didáctica contiene escenas elaboradas con Descartes, una herramienta de código abierto.

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