## Método de Euler en una ecuación de segundo orden

Ahora que ya conocemos la idea del método de Euler, aplicaremos este principio a ecuaciones de segundo orden y, como ya comentamos, conviene transformar la ecuación de segundo orden a un sistema de dos ecuaciones de primer orden:

\begin{equation} \label{eq1} \begin{split} \frac{dx}{dt} & = f(x, y) \\ \frac{dy}{dt} & = g(x, y) \end{split} \end{equation}

Al igual que en el método de Euler para las ecuaciones de primer orden, usaremos condiciones iniciales \( (x(t_0), y(t_0)) = (x_0, y_0) \) para aproximar la solución. Al conjunto {f,g} podemos verlo como una función vectorial \( F \) que da un campo vectorial que concuerda con los vectores tangentes a la curva, que es solución al sistema y, por consecuencia, nos muestra el comportamiento de la solución de la ecuación de primer orden.

Como vimos, el método de Euler se basa en la idea de aproximar la gráfica solución mediante segmentos de recta cuyas pendientes se obtienen de \( f(x, y) \). En un sistema de ecuaciones, el método de Euler se trata con éste mismo principio, pero interpretado en un marco vectorial.
Escogemos primero un tamaño de paso \( Δt \) que es la distancia que se avanzará en dirección de la pendiente para encontrar el siguiente punto, entre más pequeño sea el salto, mayor será la precisión con la que se encontrará la gráfica solución. El vector \( F(x_0, y_0) \) nos da la pendiente en el punto \( (x_0, y_0) \), por lo que comenzamos usando \( Δt F(x_0, y_0) \) para encontrar \( (x_1, y_1) \) de nuestra aproximación gráfica, es decir pasamos de \( (x_0, y_0) \) a \( (x_1, y_1) \) por medio de:

\( (x_1, y_1) = (x_0, y_0) + Δt F(x_0, y_0) \)

Una vez que calculamos \( (x_1, y_1) \) repetimos el proceso para \( (x_2, y_2) \) y en general para \( (x_n, y_n) \) formando así la aproximación de la solución. Como \( (x_n, y_n) \) es un vector podemos encontrar \( x_n \) y \( y_n \) por separado, es decir, \( x_n = x_{n-1} + Δt f(x_{n-1}, y_{n-1}) \) y \( y_n = y_{n-1} + Δt g(x_{n-1}, y_{n-1}) \).
Como ejemplo consideraremos la ecuación de Van der Pol:

\( \frac{d^2x}{dt^2} - ( 1 - x^2) \frac{dx}{dt} + x = 0 \)

Haciendo \( y = \frac{dx}{dt} \) El sistema resultante es:

\begin{equation} \label{eq2} \begin{split} \frac{dx}{dt} & = y \\ \frac{dy}{dt} & = -x + (1-x^2)y \end{split} \end{equation}

En el siguiente espacio pulsa repetidas veces el botón siguiente y nota como se va graficando la solución al sistema. Tomaremos \( Δt = 0.1 \) y \( (x_0, y_0) = (1,1) \).

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# Créditos

## Escena original

Diseño del contenido | Víctor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias UNAM, LITE)
Diseño funcional | Víctor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias UNAM, LITE)
Programación | Víctor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias UNAM, LITE)
Diseño gráfico | Ricardo López Gómez
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha

## Adaptación

Diseño funcional | Victor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias, UNAM)
Programación | Victor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias, UNAM)
Diseño gráfico | Francisco Varela Fuentes
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha

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LITE - UnADM 2014