## Representación gráfica de la solución de una ecuación diferencial

Para saber cómo es la gráfica de la solución de una ecuación diferencial primero analizaremos como se resuelve la ecuación \( y' = f(x) \). Para este problema sólo necesitamos encontrar una primitiva de la función \( f(x) \).
Ejemplo: \( y'(x) = 2 \). Sabemos que la primitiva de la función \( f(x) = 2 \) es \( y(x) = 2x + c \) donde \( c \) es una constante, el integrar nos permitió encontrar una solución con una constante arbitraria que determina una infinidad de soluciones pues todas son de la forma \( y(x) = 2x \). Geométricamente lo que se quiere decir, es que sus gráficas se obtienen una de otra haciendo una traslación en la dirección del eje de las ordenadas.

En el siguiente espacio se muestra la gráfica de la solución con la constante c a distintos valores, utiliza los pulsadores para cambiar el valor de c.

Siguiendo con el análisis de la gráfica podemos notar que las soluciones de la ecuación cubren íntegramente el área del plano entre las rectas \( x=0 \) y \( x=3 \). También podemos observar que dado cualquier punto \( (x_0, y_0) \) en el área mencionada, hay una solución que pasa por él. La solución mencionada es única, pues hay sólo una recta con pendiente 2 que pase por el punto mencionado.
Este resultado no es exclusivo del método que utilizamos para analizar la solución, pues también se puede obtener de forma analítica. Entonces dada la ecuación \( y' = f(x) \), si \( f \) es contínua en un intervalo \( I \) y \( x_0 ϵ I, y_0 ϵ R \), entonces existe una y sólo una solución \( y(x) \), con la propiedad de que \( y(x_0) = y_0 \).

En el siguiente espacio se muestra un punto sobre el intervalo \( x=0 \) y \( x=3 \) y la gráfica de la solución en ese punto. Utiliza los pulsadores para modificar la posición del punto.

Anteriormente vimos que a cada valor de \( (x_0, y_0) \) le corresponde una función del conjunto de soluciones de una ecuación diferencial. A la solución con constante c se le denomina solución general. A la correspondiente a los puntos \( (x_0, y_0) \) se le conoce como solución particular, y a los puntos se les conoce como condiciones iniciales a un problema. Teniendo los valores de las condiciones iniciales podemos evaluar la solución general, despejamos la constante y obtenemos su valor, así podemos obtener los datos necesarios para identificar la solución particular que corresponde al problema presentado.

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# Créditos

## Escena original

Diseño del contenido | Víctor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias UNAM, LITE)
Diseño funcional | Víctor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias UNAM, LITE)
Programación | Víctor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias UNAM, LITE)
Diseño gráfico | Ricardo López Gómez
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha

## Adaptación

Diseño funcional | Victor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias, UNAM)
Programación | Victor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias, UNAM)
Diseño gráfico | Francisco Varela Fuentes
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha

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La unidad didáctica contiene escenas elaboradas con Descartes, una herramienta de código abierto.

LITE - UnADM 2014