# Sistemas de coordenadas no rectangulares

## Coordenadas esféricas

## Esfera

La ecuación de la esfera de radio \(r\) en coordenadas esféricas es \( \rho =r\)

Un punto\( (x,y,z) \) de la esfera tiene coordenadas: \[x=r sen(u) cos(v)\] \[y=r sen(u) sen(v)\] \[x=r cos(u)\] con \(0 \leq u \leq \pi \) y \(0 \leq v \leq 2\pi \).
Por lo que la ecuación de la esfera en coordenadas rectangulares es \(x^2+y^2+z^2=r^2\).
¿Cuál será la ecuación en coordenadas rectangulares de \(r=2cos(u)\)? ¿De qué superficie se trata?

En la siguiente escena interactiva se presenta una esfera y sus ecuaciones con respecto a los parámetros u y v (\( \phi\) y \(\theta\) respectivamente).
Estas ecuaciones también dependen del parámetro r (\(\rho \)), que puedes manipular para observar cómo cambia la gráfica de la superficie cuando cambia r. En el segundo ejemplo agrégalo y manipulalo.
Si alteras la ecuación dada de una manera distinta a sólo agregar parámetros, obtendrás gráficas distintas a la de una esfera. Puedes graficar otras superficies en coordenadas esféricas.

Respondiendo a la pregunta anterior, \[x^2+y^2+(z-1)^2=1\] equivale a \[x^2+y^2+z^2-2z=0\] por lo que sustituyendo obtenemos \[r^2sen^2(u)cos^2(v)+r^2sen^2(u)sen^2(v)+r^2cos^2(u)-2r cos(u)=0\] de donde, simplificando y despejando, la ecuación en coordenadas esféricas de la esfera de radio \(1\) con centro en \((0,0,1)\) es \[r=2cos(u)\] Entonces \[x=r sen(u)cos(v)=2cos(u)sen(u)cos(v)\] \[y=r sen(u)sen(v)=2cos(u)sen(u)sen(v)\] \[z=2 cos^2(u)\] Puedes ver la gráfica de esta esfera en la opción Esfera 2 del menú.
En general, ¿cuál es la ecuación de una esfera con centro en \((h,k)\) y radio \(r\)?

## Cono

La ecuación del cono en coordenadas rectangulares es \[z=\sqrt{x^2+y^2}\] Por lo que sustituyendo obtenemos \[rcos(u)=\sqrt{r^2sen^2(u)}\] de donde, simplificando y despejando, la ecuación en coordenadas esféricas del cono con vértice en \((0,0,0)\) es \[u=\frac{\pi}{4}\] Entonces \[x=rsen(u)cos(v)=rsen(\frac{\pi}{4})cos(v)\] \[y=rsen(u)sen(v)=rsen(\frac{\pi}{4})sen(v)\] \[x=rcos(\frac{\pi}{4})\] Puedes ver la gráfica de este cono en la opción Cono del menú.

## Paraboloide

La ecuación del paraboloide circular en coordenadas rectangulares es \[z=x^2+y^2\] por lo que sustituyendo obtenemos \[rcos(u)=r^2sen^2(u)\] Esta ecuación no tiene una simplicación trivial como en el caso de la esfera con centro en \((0,0,1)\) o el cono. Puedes ver la gráfica de este paraboloide en la opción Cono del menú.

Elige en el menú una superficie para ver su gráfica. Modifica el parámetro a con el pulsador correspondiente. Puedes agregar a las ecuaciones los parámetros b, c y d. Modifica todos los parámetros y observa el efecto que esto tiene en la gráfica de la superficie.

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# Créditos

## Escena original

Diseño del contenido | Brenda Casandra Vargas Rocha (Instituto de Ciencia e Ingeniería de Materiales, UNAM)
Diseño funcional | Brenda Casandra Vargas Rocha (Instituto de Ciencia e Ingeniería de Materiales, UNAM)
Programación | Brenda Casandra Vargas Rocha (Instituto de Ciencia e Ingeniería de Materiales, UNAM)
Asesoría de programación | José Luis Abreu León (Instituto de Matemáticas, UNAM) Leticia Montserrat Vargas Rocha
Diseño gráfico | Ricardo López Gómez
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha

## Adaptación

Diseño funcional | Elsa Sirenia Vega Camacho
Programación | Elsa Sirenia Vega Camacho
Asesoría de programación | Leticia Montserrat Vargas Rocha
Diseño gráfico | Francisco Varela Fuentes
Ilustración | Francisco Varela Fuentes
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha
Desarrollo del contenedor | Oscar Escamilla González

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La unidad didáctica fue creada con Arquímedes, una herramienta de código abierto.

La unidad didáctica contiene escenas elaboradas con Descartes, una herramienta de código abierto.

LITE - UnADM 2014