## Coordenadas esféricas

Las coordenadas esféricas nos dan la localización de puntos en el espacio por medio de dos ángulos y de una distancia, como se muestra en la figura. La primera coordenada, \( \rho= |\vec{OP}| \), es la distancia del punto \(P\) al origen, por lo que, al contrario de \(r \), \( \rho \) nunca es negativa. La segunda coordenada, \( \phi \), es el ángulo que \( |\vec{OP}| \) que hace con el \( eje-z \). Es necesario que esté en el intervalo \( [0, \pi ] \). La tercera coordenada es el ángulo \( \theta \) como se mide en las coordenadas cilíndricas, y está en el intervalo \( [0, 2\pi ] \).

En la figura de la izquierda se ilustra la relación de las coordenadas esféricas \( \rho \), \( \phi \) y \( \theta \) con \(x \), \(y \), \( z \) y \( r \). En la figura de la derecha se ilustran las superficies obtenidas al hacer una de las coordenadas constante: esferas, conos y medios planos.

## Definición

Las coordenadas esféricas representan un punto \( P \) en el espacio con \( (\rho,\phi,\theta) \), donde

- \( \rho \) es la distancia de \( P \) al origen.
- \( \phi \) es el ángulo que \( |\vec{OP}| \) hace con el \( eje-z \) positivo (\( 0\leq \phi \leq \pi \) ).
- \( \theta \) es el mismo ángulo que en las coordenadas cilíndricas (\( 0\leq \theta \leq 2\pi \) ).

Los valores de \(x \), \(y \), \(r \) y \( \theta \) y las coordenadas cilíndricas están relacionadas por las ecuaciones \[r=\rho sen \phi, \ \ \ \ \ x=r cos \theta=\rho sen \phi cos \theta, \] \[z= \rho cos \phi, \ \ \ \ \ y=r sen \theta = \rho sen \phi sen \theta, \] \[\rho= \sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{r^2+z^2}\]

©
×

# Créditos

## Escena original

Diseño del contenido | Brenda Casandra Vargas Rocha (Instituto de Ciencia e Ingeniería de Materiales, UNAM)
Diseño funcional | Brenda Casandra Vargas Rocha (Instituto de Ciencia e Ingeniería de Materiales, UNAM)
Programación | Brenda Casandra Vargas Rocha (Instituto de Ciencia e Ingeniería de Materiales, UNAM)
Asesoría de programación | José Luis Abreu León (Instituto de Matemáticas, UNAM) Leticia Montserrat Vargas Rocha
Diseño gráfico | Ricardo López Gómez
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha

## Adaptación

Diseño funcional | Elsa Sirenia Vega Camacho
Programación | Elsa Sirenia Vega Camacho
Asesoría de programación | Leticia Montserrat Vargas Rocha
Diseño gráfico | Francisco Varela Fuentes
Ilustración | Francisco Varela Fuentes
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha
Desarrollo del contenedor | Oscar Escamilla González

Los contenidos de esta unidad didáctica interactiva están bajo una licencia Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-CompartirIgual.

La unidad didáctica fue creada con Arquímedes, una herramienta de código abierto.

La unidad didáctica contiene escenas elaboradas con Descartes, una herramienta de código abierto.

LITE - UnADM 2014