# Definición de rotacional

Definiremos de forma algebraica el rotacional de un campo vectorial. Éste asocia a un campo vectorial en \( \mathbb{R}^3 \), \( \bar{F}= F_1\bar{i} + F_2\bar{j} + F_3\bar{k} = (F_1,F_2,F_3)\), otro campo vectorial rot \( \bar{F} \), definido como:

\( rot \bar{F} = (\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}) \bar{i} + (\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}) \bar{j} + (\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}) \bar{k} \)

Para saber cómo se obtiene esta larga ecuación, podemos utilzar la notación de "operadores", los cuales actúan u operan a funciones con valores reales, un operador muy conocido, es el operador \( \nabla \), definido como:

\( \nabla = \bar{i} \frac{\partial}{\partial x} + \bar{j} \frac{\partial}{\partial y} + \bar{k} \frac{\partial}{\partial z} \)

Entonces, si este operador actúa en una función \( f \), se obtiene:

\( \nabla = \bar{i} \frac{\partial f}{\partial x} + \bar{j} \frac{\partial f}{\partial y} + \bar{k} \frac{\partial f}{\partial z} \)

Esto se conoce como el gradiente de \( f \). Ahora si consideramos \( \nabla \) como un vector de componentes \( \partial/\partial x,\partial/\partial y,\partial/\partial z \), entonces podemos tomar el producto cruz \( \nabla \times \bar{F} \):

\( \nabla \times \bar{F} = \begin{vmatrix} \bar{i} &\bar{j} &\bar{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} &\frac{\partial}{\partial y} &\frac{\partial}{\partial z} \\ F_1 &F_2 &F_3 \end{vmatrix} = (\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}) \bar{i} + (\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}) \bar{j} + (\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}) \bar{k} = rot \bar{F} \)

Así, el rotacional rot \( \bar{F} \) es igual que \( \nabla \times \bar{F} \), y a menudo se usa esta última expresión.

Explicar el significado físico del rotacional es bastante complicado, sin embargo a continuación consideraremos una situación simple que muestra cómo el rotacional está asociado a giros.

Como el rotacional se aplica a campos vectoriales veamos un ejemplo de estos, la fuerza de atracción gravitatoria entre dos objetos de masas M y m:

\( |\bar{F}| = \frac{GMm}{r^2} \)

Podemos escribir el campo de fuerza gravitatoria en términos de sus funciones componentes como:

\( \bar{F}(x,y,z) = -\frac{GMm x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\hat{i} -\frac{GMm x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\hat{j} -\frac{GMm x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\hat{k} \)

Este campo se representa gráficamente mediante flechas en dirección radial apuntando hacia el origen de coordenadas, de longitud cada vez menor a medida que el objeto m se aleja del objeto M.

©
×

# Créditos

## Escena original

Diseño del contenido | Víctor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias UNAM, LITE)
Diseño funcional | Víctor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias UNAM, LITE)
Programación | Víctor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias UNAM, LITE)
Diseño gráfico | Ricardo López Gómez
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha

## Adaptación

Diseño funcional | Victor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias, UNAM)
Programación | Victor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias, UNAM)
Diseño gráfico | Francisco Varela Fuentes
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha
Desarrollo del contenedor | Oscar Escamilla González

Los contenidos de esta unidad didáctica interactiva están bajo una licencia Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-CompartirIgual.

La unidad didáctica fue creada con Arquímedes, una herramienta de código abierto.

La unidad didáctica contiene escenas elaboradas con Descartes, una herramienta de código abierto.

LITE - UnADM 2014