## Derivadas de una superficie \( z(x,y) \)

Si tenemos una función de dos o tres variables, y además dicha función es diferenciable, entonces podemos obtener todas las derivadas direccionales posibles de \( f \) en un punto dado. Éstas dan las razones de cambio de \( f \) en todas las direcciones posibles.
De todas estas razones y direcciones ¿cuál es la que indica el cambio más rápido para \( f \)? y ¿cuál es la máxima razón de cambio? El valor máximo de la derivada direccional se da cuando el vector unitario \( ū \) tiene la misma dirección que el vectorgradiente \( ∇f\):
\[ D_uf = ∇fū= |∇f| |ū|cosθ = |∇f| cosθ \] donde \( θ \) es el ángulo entre \( ∇f \) y \( ū \). El valor máximo se da cuando \( cosθ=1\). y esto ocurre cuando \( θ=0 \),es decir cuando \( ∇f \) y \( ū \) tiene la misma dirección. Entonces el valor máximo de la derivada direccional es \( |∇f| \).
Todas las derivadas direccionales de una superficie en un punto son tangentes a ella, por lo que todas éstas están contenidas en el plano tangente a la superficie, y como hemos visto, el ∇*f es ortogonal a las derivadas y en general al plano tangente. Si proyectamos el \( ∇f \) sobre el plano X*Y*, éste nos indicará hacia donde está el máximo cambio en nuestra superficie. Como vimos anteriormente, este cambio se denota como \( |∇f| \).

En la siguiente escena se muestra un plano, el cual puede ser el plano tangente a cualquier superficie. Se muestra un vector de color amarillo sobre el plano \( XY \) que indica la dirección del máximo crecimiento del plano, que también es el máximo crecimiento a la superficie, es decir, apunta en dirección a la pendiente mayor a la superficie en el punto elegido.

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# Créditos

## Escena original

Diseño del contenido | Elsa Sirenia Vega Camacho (LITE)
Diseño funcional | Elsa Sirenia Vega Camacho (LITE)
Programación | Elsa Sirenia Vega Camacho (LITE)
Asesoría de programación | Victor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias, UNAM)
Diseño gráfico | Ricardo López Gómez
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha

## Adaptación

Diseño funcional | Victor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias, UNAM)
Programación | Victor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias, UNAM)
Diseño gráfico | Francisco Varela Fuentes
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha
Desarrollo del contenedor | Oscar Escamilla González

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La unidad didáctica fue creada con Arquímedes, una herramienta de código abierto.

La unidad didáctica contiene escenas elaboradas con Descartes, una herramienta de código abierto.

LITE - UnADM 2014