# Solución de desigualdades cuadráticas

## Método del diagrama de signos

Para este método debemos recordar las propiedades de los signos en un producto:

1. Si el producto de dos números reales es positivo, entonces los dos números deben tener el mismo tipo de signo, ya sea ambos positivo o ambos negativo.
2. Si el producto de dos números reales es negativo, entonces los dos números deben tener signos opuestos, uno con signo positivo y otro con signo negativo.

Entonces, si tenemos una desigualdad que se pueda factorizar a la forma \( (x+a)(x+b)>0 \), podemos darnos cuenta de que esta desigualdad se satisface cuando los resultados de los paréntesis sean ambos positivos o ambos negativos, pues como vimos, este producto nos resultaría positivo. Para saber en qué momento se cumple que los signos sean iguales, haremos un diagrama de signos.

Primero identificaremos los puntos críticos, esto es señalar sobre la recta numérica los puntos para los cuales al sustituirlos en \(x\), el resultado del producto es cero. Para el caso general \( (x+a)(x+b)>0 \), los valores de \(x\) que satisfacen que ambos factores sean cero son \(x=-a\) y \(x=-b\). Al colocar estos valores en la recta, nuestra recta queda dividida en tres intervalos cuyos extremos coinciden con los puntos críticos. A continuación determinamos el signo de cada factor en cada uno de estos tres intervalos y averiguamos en cuál o cuáles de dichos intervalos los signos de ambos factores son iguales, de tal forma que el producto satisfaga la inecuación. Cabe mencionar que estos factores son lineales, por lo que se mantiene el valor del signo dentro de los intervalos; basta con obtener el signo de cada factor solamente escogiendo un valor de prueba para cada intervalo.

Detalle de notación: considera el siguiente ejemplo: \(x | 5<x<-3\). Dicho ejemplo parece no tener lógica, pues interpretado explícitamente, busca los valores de \(x\) tales que sea al mismo tiempo mayor que \(5\) y menor que \(-3\). Pero, para fines de ejercicios de esta unidad, esto es sólo una notación que indica que \(5<x\) por una parte [es decir, el intervalo \((5,\infty)\)] y, por otra, que \(x<-3\) [es decir, el intervalo \((-\infty,-3)\)]. Así pues, en la presente unidad, esta notación se refiere a la unión de los intervalos correspondientes, en vez de la intersección de los mismos.

A continuación veremos un ejemplo de cómo se utiliza este método. Pulsa el botón 'Siguiente' y observa paso a paso cómo se resuelve la desigualdad.
Créditos y condiciones de uso
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# Créditos y condiciones de uso

Introducción elaborada para la unidad de enseñanza-aprendizaje Taller de Matemáticas de la Universidad Autónoma Metropolitana, unidad Cuajimalpa, en colaboración con el Laboratorio LITE de Innovación en Tecnología Educativa S.C.

- Autor de la unidad: Víctor Hugo García Jarillo
- Revisión: Tine Stalmans

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La unidad didáctica contiene escenas elaboradas con Descartes, una herramienta de código abierto.