Números naturales
Algoritmo de Euclídes: máximo común divisor

# Objetivo

Calcula el máximo común divisor con números naturales (máximo 5 números diferentes).

# Procedimiento

Los divisores de un número natural son todos aquellos números naturales que lo dividen de manera exacta. En el siguiente recuadro interactivo se te pide seleccionar con un clic todos y cada uno de los divisores de un número dado entre $2$ y $24$. Al terminar puedes pulsar el botón Otro ejemplo, lo cual genera otro número al azar. Repite el ejercicio tantas veces como sea necesario hasta que te resulte muy fácil responder sin errores.

Conocer bien los divisores de estos números te permitirá calcular más rápidamente el máximo común divisor de varios números y operar eficientemente con fracciones.

Un número que es divisor de dos o más números diferentes se llama divisor común de ellos. Por ejemplo, $3$ es divisor común de $9$, $15$ y $18$. En el siguiente recuadro interactivo encontrarás dos números y dos copias de la recta numérica, en las que se representan ambos números con puntos verdes. En la recta superior se muestran los divisores del primer número y en la inferior los del segundo, marcados todos con puntos azules. Los divisores comunes aparecen en rojo y señalados por flechas. Puedes cambiar ambos números mediante los pulsadores, o bien, presionar Otro ejemplo para que el programa genere al azar otros dos números (entre $2$ y $24$). Nota que el $1$ siempre es divisor común de los dos números, y muchas veces es el único. En este caso se dice que los números son primos entre sí.

De todos los divisores comunes de dos o más números, el más importante es el mayor de ellos (el máximo común divisor). Una manera sencilla de encontrar el máximo común divisor de dos números es utilizando el llamado Algoritmo de Euclídes. El máximo común divisor es el último residuo distinto de cero que se obtiene al aplicar este algoritmo. En la parte inferior se muestra un recuadro interactivo que te permitirá realizar algunos ejemplos de su utilización. En él se muestra el algoritmo por pasos, y para avanzar deberás oprimir Siguiente. Al terminar podrás presionar Otro ejemplo para mostrar otro par de números naturales (entre $2$ y $99$), si deseas cambiarlos deberás escribirlos en los campos de texto Primer número y Segundo número.

# Solución

Para calcular el máximo común divisor de más de dos números es necesario aplicar el algoritmo de Euclídes por pares de números, es decir, se calcula primero el máximo común divisor de la primera pareja de números dada. Después el del par formado por el siguiente número y el máximo común divisor hallado. Posteriormente el de la pareja integrada por el cuarto número y el segundo máximo común divisor encontrado, y así sucesivamente hasta el último número especificado.

# Ejercicios

En el recuadro interactivo que se presenta a continuación, podrás a calcular el máximo común divisor de tres, cuatro o cinco números naturales entre $2$ y $99$.

Especifica con el pulsador de cuántos números deseas obtener el máximo común divisor, escribe los números en los cuadros de texto (recuadros en blanco) y pulsa Intro para iniciar. Resuelve el ejercicio en tu cuaderno y luego oprime Siguiente para avanzar paso a paso y comparar tus resultados con los del programa. Observa las notas del recuadro inferior izquierdo.

Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autores: Fernando René Martínez Ortiz y Norma Patricia Apodaca Alvarez

Edición académica: José Luis Abreu León

Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez

Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi

Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Octavio Fonseca Ramos

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán

Actualización tecnológica y de estilo, 2019.

Actualización: Joel Espinosa Longi

Los contenidos de esta unidad didáctica interactiva están bajo una licencia Creative Commons, si no se indica lo contrario.

Los componentes interactivos fueron creados con Descartes que es un producto de código abierto.