# Resolución de los problemas

## Problema 2: Relación entre el problema del crecimiento del número de personas del esquema de fraude y el crecimiento del capital en una inversión

Teniendo en mente los cuatro casos que se señalaron anteriormente, habremos de determinar el valor de \(f\) de tal manera que: \[Ca^0\rightarrow Ca^1\rightarrow Ca^2\rightarrow Ca^3\rightarrow\dots\rightarrow Ca^n\] donde \(a=1+f\) y \(n\) sea el número de un nivel arbitrario de la pirámide.

Caso 1. Cada socio por su cuenta recluta dos o más nuevos socios
Si comenzamos con dos 'socios' en el nivel cero, cuando cada 'socio' que está en un nivel de la pirámide recluta a \(3\) nuevos 'socios', la cantidad de personas del siguiente nivel se multiplica por \(3\) dando lugar a la siguiente sucesión: \[2\rightarrow6\rightarrow18\rightarrow\dots\rightarrow2\times3^n\] Suponiendo que comenzamos con \(C\) 'socios' en el nivel cero, cuando cada 'socio' que está en un nivel de la pirámide recluta a \(m\) nuevos 'socios', con \(m\) un número natural mayor que o igual a dos, la cantidad de personas del siguiente nivel se multiplica por \(m\). Este comportamiento se representa como:
(oprime el botón con la respuesta correcta)
Entonces si \(a=m\) y \(a=f+1\) tendremos que \(m=f+1\) y, por tanto, \(f=m-1\), lo que significa que se trata exactamente de un crecimiento conforme a un esquema de interés compuesto.
Por ejemplo, para el caso de arriba de este recuadro \(f=2\), que en porcentaje sería un interés del \(200\%\).
Caso 2. Un grupo de dos o más socios se encarga de reclutar al menos un socio más que el tamaño del grupo (dando por hecho que de inicio hay socios suficientes para formar al menos un grupo)
Supongamos por un momento que podemos hablar de porciones de personas. Si comenzamos con \(4\) 'socios' en el nivel cero, cuando cada grupo de \(4\) 'socios' que está en un nivel de la pirámide recluta a \(5\) nuevos 'socios', la cantidad de personas del siguiente nivel se multiplica por \(\frac54\) dando lugar a la siguiente sucesión:
(oprime el botón con la respuesta correcta)
La suposición que hemos hecho nos muestra que se trata de un crecimiento igual al del caso 1, salvo que la tasa de crecimiento es menor. Podemos concluir que se trata de un fenómeno que se acerca a un esquema de interés compuesto conforme la cantidad de personas crece. El cálculo del valor de \(f\) es el mismo que en el caso anterior.
Caso 3. Un grupo de socios se encarga de reclutar tantos socios como el tamaño del grupo
Si comenzamos con doscientos 'socios' en el nivel cero, cuando cada 'socio' que está en un nivel de la pirámide recluta solamente a un nuevo 'socios', la cantidad de personas del siguiente nivel se multiplica por \(1\) y, por tanto, se mantiene igual a la del nivel anterior, dando lugar a la siguiente sucesión: \[200\rightarrow200\rightarrow200\rightarrow\dots\rightarrow200\] Suponiendo que comenzamos con \(C\) 'socios' en el nivel cero, tendríamos que:
(oprime el botón con la respuesta correcta)
Como \(f=m-1\) entonces \(f=0\) lo que significa que se trata de un crecimiento de interés compuesto con una tasa nula, del cero por ciento. Sin embargo, se trata exactamente de un crecimiento conforme a un esquema de interés compuesto.
Caso 4. Un grupo de dos o más socios se encarga de reclutar menos socios que el tamaño del grupo
Como hicimos en el caso 2, supongamos por un momento que podemos hablar de porciones de personas. Si comenzamos con \(4\) 'socios' en el nivel cero, cuando cada grupo de \(4\) 'socios' que está en un nivel de la pirámide recluta a \(3\) nuevos 'socios', la cantidad de personas del siguiente nivel se multiplica por \(\frac34\), dando lugar a la siguiente sucesión:
(oprime el botón con la respuesta correcta)
La suposición que hemos hecho nos muestra que se trata de un crecimiento igual al del caso 1, sólo que en este caso se pierden fracciones en cada paso. Podemos concluir que se trata de un fenómeno que se parece a un esquema de interés compuesto salvo que hay decrementos cumulativos causados por la pérdida de porciones de personas.
En este caso, como \(m=\frac34\) tendremos que \(f=\frac34-1=-\frac14\). Es una tasa de interés negativa que, por tanto, causa decrecimiento. Este caso lo abordaremos de nuevo en la sección de Reflexiones.

Una vez analizados los cuatro casos podemos llegar a la siguiente conclusión.

Ambos crecimientos son en esencia los mismos, salvo por diferencias causadas por la imposibilidad de considerar porciones de personas.

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