# Resolución de los problemas

## Problema 4: Determinar si un crecimiento de interés compuesto puede o no alcanzar a un crecimiento lineal

Comenzaremos analizando y caracterizando un fenómeno muy sencillo relativo al crecimiento lineal. Así como es de sencillo es de importante, en términos matemáticos, para llevar a cabo el razonamiento que resuelve el problema.

En el siguiente espacio puedes ajustar m y b relativos a la recta verde y tambien n y c que corresponden a la recta azul.
Puedes modificar la escala con las lupas de la esquina inferior derecha.

Como seguramente notaste, los valores de las literales \(m, b, n, c\) son siempre positivos, pero adicionalmente tienen las siguientes dos restricciones:

1. \(b>c\)
2. \(m<n\)

La recta verde tiene por ecuación:

Mientras que la azul:

La primera de las restricciones de arriba significa que cuando \(x=0\) la recta azul siempre estará por debajo de la verde, mientras que la segunda obliga a que la pendiente de la recta azul sea siempre mayor que la de la verde.

Lo último es equivalente a decir que la cantidad representada por la recta azul aumenta más que la verde conforme los valores de \(x\) van creciendo. Mientras que la recta verde aumenta \(m\) unidades (hacia arriba) cada vez que \(x\) aumenta en una unidad, la recta azul crece \(n\) unidades (también hacia arriba) cuando la \(x\) aumenta en uno. Como \(n>m\) la recta azul va siempre aumentando más que la verde.

Si habláramos de un dinero 'verde' y un dinero 'azul', pensando en la \(x\) como el tiempo, diríamos que el crecimiento, al avanzar el tiempo del dinero azul es siempre mayor al del dinero verde, debido a la segunda de las restricciones.

Tu conclusión final es que: (oprime el número de la respuesta correcta)

Sin olvidar la conclusión acerca de este fenómeno, continuaremos observando una característica importante inherente a cualquier crecimiento con una tasa de interés compuesto mayor al \(0\%\), es decir, con tasa de crecimiento positiva.

En el siguiente espacio puedes ajustar \(C\), el capital inicial, y \(f\), la fracción, que corresponden a un esquema de interés compuesto con la tasa de interés correspondiente a \(f\).
El botón 'rectas' te permite ver y ocultar unos segmentos que son prolongaciones de la curva poligonal y cuyas pendientes indican el crecimiento de la curva en cada periodo, que en este caso coincide con cada unidad de tiempo.
Puedes modificar la escala con las lupas de la esquina inferior derecha.

Si nos fijamos en los segmentos que obtienes en el espacio anterior al oprimir el botón etiquetado como 'rectas', vemos que hay un continuo aumento en las pendientes conforme nos recorremos hacia la derecha. Esto se debe a que cada pendiente corresponde a la fracción \(f\) del capital acumulado hasta ese punto, pero como el capital aumenta, debido a que la fracción se suma antes de comenzar el siguiente periodo, entonces el siguiente aumento será forzosamente más grande que el anterior.

Lo anterior no basta para poder asegurar que las pendientes no van a dejar nunca de aumentar más allá de cualquier límite\(^*\), pero en el caso que nos ocupa no pueden 'estancarse' porque son una fracción \(f\) del capital que va creciendo y aumentando en cada unidad de tiempo.

Tu conclusión sobre lo anterior es que: (oprime el número de la respuesta correcta)

Las dos conlusiones a las que hemos llegado, si las combinamos, nos permiten asegurar que cualquier esquema de interés compuesto con tasa positiva rebasará siempre a un crecimiento lineal.
El argumento final es que si la curva del capital invertido (que gana una fracción positiva de sí mismo cada unidad de tiempo) a partir de cierto momento tiene un crecimiento mayor a cualquier crecimiento lineal dado de antemano, entonces podemos escoger un dinero azul que rebasará al verde, cualquiera que este sea, y como la curva rebasa al azul, tendrá también que rebasar al verde.

\(^*\) El que una cantidad aumente no necesariamente quiere decir que rebase siempre cualquier límite que fijemos. Piensa en un objeto que está en el piso y lo subimos paso a paso. En cada paso lo colocamos a la mitad de la distancia que le falta para llegar al techo. Aunque siempre va subiendo nunca llegará al techo y menos llegará a estar un metro sobre el techo.

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