# Formalización de los problemas

El problema 1 no requiere estrictamente de una formalización en términos matemáticos y lo resolveremos directamente en la siguiente sección.

## Problema 2. ¿Hay relación entre el problema del crecimiento del número de personas del esquema de fraude y el crecimiento del capital en una inversión?

En este problema, lo que debemos hacer es caracterizar tanto las similitudes como las diferencias en los dos tipos de crecimiento.

Crecimiento de capitales invertidos

Cuando hablamos de invertir un capital en un esquema de interés compuesto, como el que ofrecen por ejemplo los bancos, nos referimos a una cantidad de dinero que aumentará en una cierta tasa cada vez que transcurra un plazo o cierto periodo fijado de antemano. La tasa puede representarse mediante una fracción o bien como un porcentaje, que finalmente es una forma alterna de escribir las fracciones.

Lo interesante de estos esquemas es que los intereses, es decir, la cantidad en que aumenta el capital al transcurrir el periodo prefijado, son agregados al capital antes de comenzar el siguiente periodo. De este modo las ganancias que el capital va generando crecen en la misma proporción que el propio capital lo hace.

¿Cómo crecería un capital de $100 durante 4 semanas si genera 20% de intereses semanalmente?
Oprime el botón con las respuesta correcta.

Diremos que un capital \(C\) invertido en un esquema de interés compuesto que gana una fracción \(f\) de sí mismo cada vez que transcurre un cierto periodo va creciendo al transcurrir sucesivamente los periodos como \[C\rightarrow Ca\rightarrow Ca^2\rightarrow Ca^3\rightarrow\dots\rightarrow Ca^n\] donde \(a=1+f\) y \(n\) es el número de un periodo arbitrario cualquiera. De hecho podemos escribir \[Ca^0\rightarrow Ca^1\rightarrow Ca^2\rightarrow Ca^3\rightarrow\dots\rightarrow Ca^n\] donde las literales tienen el mismo significado que antes, permitiéndonos ahora identificar el número del periodo con el exponente de la \(a\).
Nota: los puntos suspensivos \(\cdots\) ubicados entre las flechas se usan para indicar que el proceso continúa y se recorren todos los valores intermedios.

Pregunta
Según la definición anterior, ¿qué pasa cuando \(f\geq1\)?

Crecimiento del número de 'socios' al pasar al siguiente nivel en una pirámide

Consideraremos cuatro casos, de acuerdo con lo que pudimos observar en la última página de la exploración y que puedes verificar en la escena más abajo.

1. Cada socio por su cuenta recluta dos o más nuevos socios.
2. Un grupo de dos o más socios se encarga de reclutar al menos un socio más que el tamaño del grupo. Aquí daremos por hecho que de inicio hay socios suficientes para formar al menos un grupo, ya que de lo contrario no habrá crecimiento al pasar al siguiente nivel.
3. Un grupo de socios se encarga de reclutar tantos socios como el tamaño del grupo.
4. Un grupo de dos o más socios se encarga de reclutar menos socios que el tamaño del grupo.

El siguiente espacio ya lo usaste en la primera sección, en él podrás ajustar el número inicial de socios \(N\), entre 1 y 10; el tamaño del grupo de reclutadores \(G\), entre 1 y 9; y el tamaño del grupo de reclutados \(T\), entre 1 y 10, para experimentar con los diez primeros niveles y verificar los cuatro posibles casos que acabamos de mencionar.

Problema 2
En concreto, lo que debemos hacer es encontrar en cuáles de los cuatro casos que listamos arriba podemos encontrar un número que permita describir el crecimiento del número de 'socios' al pasar al siguiente nivel en una pirámide.
Habremos de determinar el valor de \(f\) de tal manera que \[Ca^0\rightarrow Ca^1\rightarrow Ca^2\rightarrow Ca^3\rightarrow\dots\rightarrow Ca^n\] donde \(a=1+f\) y \(n\) sea el número de un nivel arbitrario de la pirámide.

Este problema 2 lo resolveremos más adelante, en la sección de Resolución. Por ahora, avanza a la siguiente página para seguir abordando el problema 3.

Condiciones de uso