# Reflexiones y aplicaciones

## El crecimiento exponencial en fenómenos naturales

Sabemos que un esquema de interés compuesto que se aplica a un capital inicial \(C\ge0\), que aumenta en cada unidad de tiempo una fracción \(f\ge0\) de sí mismo, produce una sucesión creciente dada por \[C\rightarrow Ca\rightarrow Ca^2\rightarrow\dots\rightarrow Ca^n\rightarrow\cdots\] donde \(a=f+1\).

Mediante el crecimiento exponencial es posible describir el comportamiento de la cantidad de individuos en una población de seres vivos, ya sean bacterias, peces, pollos o incluso personas.

Por ejemplo, podemos decir que en Japón el porcentaje de crecimiento anual de la población es del \(.9\%\), mientras que en América Latina es del \(2.3\%\). Con estos datos y una población inicial podemos predecir cómo se comportarán estas poblaciones a futuro o cuál era su valor en el pasado. Lo último es consecuencia de que la función \[y=Ca^{n}\] también admite valores de \(n\) negativos que corresponden a tiempos pasados, lo cual podemos representar mediante el siguiente diagrama \[ \cdots\rightarrow Ca^{-n}\rightarrow\dots\rightarrow Ca^{-2} \rightarrow Ca^{-1}\rightarrow C\rightarrow Ca\rightarrow Ca^2\rightarrow\dots\rightarrow Ca^n\rightarrow\cdots\] que tiene una correspondencia con los números enteros en tanto \(C=Ca^0\) y \(Ca=Ca^1\).

Otro fenómeno que se describe con la función exponencial es el decaimiento radioactivo. Por ejemplo, la semi vida o vida media de plutonio 238, combustible usado en plantas nucleares, es de \(88\) años. Ahora, ¿qué es la vida media de un material radioactivo? Resulta que es el tiempo que tarda el material en perder la mitad de su masa por sí mismo. Si de algún modo lográramos conseguir una bola de \(1 kg\) de plutonio 238, entonces después de 88 años, sin hacerle nada, sólo quedaría \(\frac12kg\), y 88 años más tarde quedaría \(\frac14kg\), y así sucesivamente. En otras palabras, el plutonio 238 pierde un \(50\%\) de su masa cada 88 años. Como en este caso \(f=-.5<0\) y, por tanto, \(a=-.5+1=.5<1\), tenemos un caso de 'decrecimiento exponencial'.

### Tarea

1. La población de un país crece al \(.9\%\) anual, como es actualmente el caso de Japón.
   1. Si en estos momentos tiene \(100,000,000\) habitantes, ¿cuántos habitantes tendrá en \(20\) años y cuántos tenía hace \(20\) años?
   2. ¿Cuántos años tardará este país en duplicar su población?
2. Como ya comentamos arriba, el plutonio 238 tiene una vida media de \(88\) años.
   1. ¿Cómo describimos, usando \(Ca^n\), el fenómeno de decaimiento de \(2kg\) considerando que las unidades de tiempo son años?
   2. ¿Cuál es el valor de \(a\) si los periodos fueran siglos?

¡Trata de encontrar la solución por tu cuenta antes de oprimir el botón de abajo!

#### Respuestas

1. Si la población de un país crece al \(.9\%\) anual, entonces para un valor inicial \(C\) de la población tendremos en el año \(n\) una población representada por \[Ca^n\]con \(a=1+.009\) ya que \(1\%\) equivale a \(.01\) por lo que \(.9\%\) representa la fracción \(.009\).
   1. Si en estos momentos \(C=100,000,000\), en veinte años será \[Ca^{20}=1,000,000\times1.009^{20}\simeq1,000,000\times1.196253785\simeq119,625,378,\] poco más de \(119\) millones y medio de habitantes después de veinte años. Similarmente, veinte años atrás \[Ca^{-20}=1,000,000\times1.009^{-20}\simeq\frac{1,000,000}{1.196253785}\simeq83,594,301,\] poco más de \(83\) millones y medio de habitantes veinte años antes. Para este último cálculo usamos el hecho de que \(x^{-b}=\frac1{x^b}\).
   2. Para saber cuántos años tardará este país en duplicar su población, lo que haremos es buscar una \(n\) para la cual \[Ca^n=2C,\] es decir, depués de \(n\) años la población inicial \(C\) crece hasta convertirse en \(2C\), el doble. La ecuación anterior de hecho es equivalente a \[a^n=2.\] Haciendo los cálculos veremos que \[(1.009)^{75}\simeq1.958111724\] \[(1.009)^{76}\simeq1.975734730\] \[(1.009)^{77}\simeq1.993516342\] \[(1.009)^{78}\simeq2.011457989\] por lo que podemos decir que en algún momento, entre los 77 y 78 años, se duplica la población. Una manera directa de calcular este dato es con las funciones logarítmicas.
2. El plutonio 238 tiene una vida media de \(88\) años, lo cual representamos como \[C\times(.5)^n\] para periodos de \(88\) años, es decir, si \(n=1\) han transcurrido \(88\) años, para \(n=2\) van \(192\), etcétera.
   1. Dado que un año es un submúltiplo de \(88\) años buscaremos una \(a\), correspondiente a periodos de un año, para la cual \[Ca^{88}=C\times.5,\] o lo que es lo mismo \[a^{88}=.5\] lo que ocurre cuando \[a=\sqrt[88]{.5}\simeq.992154267,\] así el decaimiento anual de \(2kg\) de este material radioactivo estará dado por \[2\rightarrow2a\rightarrow2a^2\rightarrow\dots\rightarrow2a^n\rightarrow\cdots\] con \(a=.992154267\).
   2. Si los periodos fueran siglos podemos considerarlos como múltiplos de los años, y entonces el valor de \(a\) correspondiente a \(100\) años estará dado por \[a=\left(\sqrt[88]{.5}\right)^{100}=\sqrt[88]{(.5)^{100}}=(.5)^{\frac{100}{88}}\simeq.454904737.\]

Condiciones de uso