# Formalización del problema

## Prueba de validez de un patrón

En la página anterior hemos acabado el registro del patrón. Inicialmente sólo habíamos contado los cerillos, pero eso no resulta muy práctico, sobre todo en elementos que ocupan posiciones muy grandes en el patrón.

Recordemos la fórmula:
\(x = 4n + 10\)

Es tiempo de verificar la validez de la fórmula creada (cuarta y última etapa). Por medio del siguiente recurso verifica que la fórmula genere la figura con número de cerillos correcto.

Verifica la validez de la fórmula con diferentes \(n\).

Nota que la fórmula que hemos desarrollado define todas las figuras del patrón. Si quieres puedes verificar más figuras del patrón por medio del botón Otra n.

### Tarea

Desarrolla la fórmula para encontrar el número de cerillos existentes por figura en el siguiente patrón.

#### Solución de la tarea

Tomemos la figura 3 y seccionémosla. Añadamos un poco de color para diferenciar las partes.

Como puedes ver, hay dos cerillos al inicio (naranjas) y dos cerillos al final (azules). Con estas regularidades empecemos a formular la ecuación:

\(x =\) \(2\)\( + y +\) \(2\)

En nuestra expresión, \(y\) es equivalente al número de cerillos que hay en el elemento intermedio de la figura. Seccionemos este elemento a fin de encontrar la relación con \(n\).

.

Para \(n = 3\), existen 3 pequeños grupos de cerillos. Si vemos el patrón con las tres figuras, observamos que pasa lo mismo para \(n = 1\) y \(n = 2\), respectivamente. También podemos ver que los grupos tienen dos cerillos en casi todos los casos, exceptuando el último que contiene tres. Seccionemos este último elemento de tal modo que obtengamos un grupo de dos y otro en donde sólo quede uno.

Al separar este grupo hemos encontrado la relación que tiene el elemento interior con \(n\): hay \(n\) grupos de dos cerillos. Definamos a \(y\) como sigue:

\(y = 2n\)

Ahora agreguemos el cerillo que ha quedado sólo al grupo del final (azul) y reformulemos.

\(x =\) \(2\) \(+ y +\) \(3\)
Sustituyamos \(y\)
\(x =\) \(2\) \(+ 2n +\) \(3\)

En este punto podemos hacer dos cosas; la primera es factorizar los dos terminos iniciales de tal modo que \(2 + 2n\) quede como \(2( 1 + n )\) o sumar el termino inicial (naranja) con el termino final (azul). Expresemos las dos ecuaciones equivalentes:

\(x = 2(1 + n) + 3\)
Es equivalente a
\(x = 2n + 5\)

Es posible que hayas seguido otro procedimiento, es decir, que hayas discernido y registrado otras regularidades en las figuras. Esto no constituye ningún problema, siempre y cuando la fórmula final a la que llegaste sea la misma.

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