# Reflexiones y otras aplicaciones

## Otra prueba de validez de la fórmula

Antes de dar respuesta a la última parte de la tarea, hagamos la siguiente prueba de validez de la fórmula que encontramos en la página anterior. La fórmula describe el número de LEDs azules en la periferia de la figura, sin importar cuál de las 3 configuraciones elijas. Ahora bien, ¿qué sucede con figuras como más lados? ¿La fórmula encontrada también las describe?

Cambia el número de lados y observa en qué casos se puede aplicar la misma regla.

Como pudiste observar en el recurso anterior, la fórmula puede satisfacer diferentes configuraciones de displays. La única limitante es el espacio físico que existe entre cada uno de los LEDs: para figuras con más de 9 lados es necesario cambiar el tamaño del LED o la distancia entre ellos. Además, entre más LEDs haya en cada lado, más se asemejará la figura a un círculo y dejará de ser válida.

## Solución numérica al problema de Verónica

Y ahora, ¿cómo sabemos cuántos LEDs y resistencias tendrá que comprar Verónica para poder despachar el trabajo del fabricante de juguetes? Recuerda que se requieren 200 displays por cada una de las figuras desde \(n=1\) hasta \(n=10\).

Primero, obtendremos las cantidades requeridas para un juego, es decir, un conjunto de displays cuadrados, pentagonales y hexagonales con \(n=1\) hasta \(n=10\). Para determinar dicha cantidad, hay que realizar una sumatoria desde \(n=1\) hasta \(n=10\) del resultado de la fórmula por cada una de las configuraciones, ya que son tres las configuraciones (\(l=4\), \(l=5\) y \(l=6\)). En otras palabras, tendremos que hacer una doble sumatoria que se expresa matemáticamente de la siguiente manera:

\[\sum_{l=4}^{6}\sum_{n=1}^{10}l(2n)+l\] Esta expresión se lee como la sumatoria sobre \(l\) desde \(4\) hasta \(6\) de la sumatoria sobre \(n\) desde \(1\) hasta \(10\) de \(l(2n)+l\) y es equivalente a:
\[ \left (\sum_{n=1}^{10}4(2n)+4 \right) + \left (\sum_{n=1}^{10}5(2n)+5 \right) + \left (\sum_{n=1}^{10}6(2n)+6 \right) \]
Y la manera de resolverla es la siguiente:
Evaluemos y sumemos el resultado de \(l(2n)+l\) sustituyendo \(l\) por \(4\) para cada \(n\) desde \(1\) hasta \(10\).
\[\sum_{n=1}^{10}4(2n)+4 = [4(2(1))+4] + [4(2(2))+4] + [(4(2(3))+4] + [(4(2(4))+4] + \] \[[(4(2(5))+4] + [(4(2(6))+4] + [(4(2(7))+4] + [(4(2(8))+4] + [(4(2(9))+4] +\] \[[(4(2(10))+4] = 12 + 20 + 28 + 36 + 44 + 52 + 60 + 68 + 76 + 84 = 480\]
Evaluemos y sumemos el resultado de \(l(2n)+l\) sustituyendo \(l\) por \(5\) para cada \(n\) desde \(1\) hasta \(10\).
\[\sum_{n=1}^{10}5(2n)+5 = [5(2(1))+5] + [5(2(2))+5] + [(5(2(3))+5] + [(5(2(4))+5] + \] \[[(5(2(5))+5] + [(5(2(6))+5] + [(5(2(7))+5] + [(5(2(8))+5] + [(5(2(9))+5] + \]\[[(5(2(10))+5] = 15 + 25 + 35 + 45 + 55 + 65 + 75 + 85 + 95 + 105 = 600\]
Hagamos lo mismo con \(l(2n)+l\) para \(l=6\) con cada \(n\) desde \(1\) hasta \(10\).
\[\sum_{n=1}^{10}6(2n)+6 = [6(2(1))+6] + [6(2(2))+6] + [(6(2(3))+6] + [(6(2(4))+6] + \] \[[(6(2(5))+6] + [(6(2(6))+6] + [(6(2(7))+6] + [(6(2(8))+6] + [(6(2(9))+6] + \]\[[(6(2(10))+6] = 18 + 30 + 42 + 54 + 66 + 78 + 90 + 102 + 114 + 126 = 720\]
Ahora debemos sumar los resultados obtenidos \[ 480 + 600 + 720 = 1,800\]
Por lo tanto, concluimos que \[\sum_{l=4}^{6}\sum_{n=1}^{10}l(2n)+l = 1,800\]

El resultado de la anterior sumatoria doble es \(1,800\), es decir, \(1,800\) LEDs azul brillantes son requeridos por juego. Pero la juguetera encargó \(200\) juegos, por lo que el número asciende a \(360,000\) LEDs que deben ser conectados en serie a una resistencia cada uno.

Solución
Verónica deberá pedir el gran total de:

- \(360,000\) unidades de LED color azul de alta luminosidad de 5mm
- \(360,000\) unidades de resistencias de 68 ohm a ¼ watt

### Tarea final

Basándote en el mismo contexto de la fabricación de displays, ¿cómo sabrías el número total de LEDs de color rojo y azul necesarios en todo el proyecto que encargó la empresa juguetera?

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