# Reflexiones y aplicaciones

## Resolución de problemas similares

En el problema que hemos resuelto hay una serie de características particulares que pueden cambiar en otros contextos.

En este problema, las cajas que habríamos de transportar

- eran cúbicas,
- no se podían apilar, y
- debían colocarse en un paquete sin cubrirlas por abajo.

Estas características y restricciones pueden cambiar, incluso ser reemplazadas por otras de distinta naturaleza, y, sin embargo, dar lugar a problemas que pueden ser resueltos utilizando los conceptos y técnicas que hemos trabajado.

Problema
Imaginemos que nuestro cliente, que piensa realizar sus envíos regularmente, ha diseñado unas cajas cúbicas más robustas que pueden apilarse y que ya no requieren ser cubiertas para protegerlas de los rayos solares. Lo anterior nos representa a ambos un gran ahorro y nos permite reducir la superficie de la carga. Como quiera tenemos que armar un paquete de varios pisos de cajas donde todos los pisos estén llenos para evitar que las cajas se resbalen. Los pisos deberán ser todos de forma rectangular y de las mismas dimensiones para poder recubrir y fijar el paquete adecuadamente.
Partiendo del procedimiento que hemos estudiado, reflexiona sobre las siguientes preguntas. Ello te ayudará a resolver la tarea.

- ¿Cómo se haría? ¿En qué cambia el procedimiento?
- ¿Nos sirve descomponer el número de cajas en sus factores primos?

Si pensamos en paquetes de objetos que sí pueden ser apilados y requerimos encontrar las dimensiones de un paquete de varios pisos, entonces la descomposición en factores primos de \(n\) es mucho más útil, dado que el problema es más complicado.

Con el objeto de explorar un poco esta nueva versión del problema donde las cajas sí pueden apilarse, a continuación incluimos un espacio tridimensional que de inicio nos muestra cómo acomodar las \(360\) cajas del problema original.
El número total de cajas lo puedes variar entre \(1\) y \(10,000\). La \(p\) y la \(q\) corresponden al ancho y largo de los pisos rectangulares de cajas.
Puedes rotar el paquete y modificar la escala con las lupas de la esquina inferior derecha.

### Tarea

1. Pensando en que tenemos \(360\) cajas y requerimos encontrar un espacio para colocarlas en el barco, ¿de cuántas maneras diferentes podemos armar el paquete que cumpla con los requisitos del problema y que de alto tenga entre \(9\) y \(12\) cajas, además de que los pisos no sean hileras de una sola caja? Como antes, no nos importa la orientación de filas y columnas en los pisos del paquete.
2. Considerando que las cajas sí se pueden apilar, con una estiba máxima de \(5\), encuentra cuál de las siguientes cantidades de cajas no permite armar un paquete con pisos completos. Explica tu respuesta.
   a) \(216\)
   b) \(2,500\)
   c) \(539\)

¡Trata de encontrar la solución por tu cuenta antes de oprimir el botón de abajo!

#### Respuestas

1. \(360=2^3\times3^2\times5\), lo que significa que solamente podemos tener paquetes con alturas de
   a) \(3^2=9\),
   b) \(2\times5=10\),
   c) \(2^2\times3=12\).
   En el caso a), \(360\div9=40\) y \(40=2^3\times5=2\times(2^2\times5)=2^2\times(2\times5)=(2\times2\times2)\times5\), dando lugar a las combinaciones del siguiente cuadro.

Alto | Ancho o largo | Largo o ancho
--- | --- | ---
9 | 2 | 20
9 | 4 | 10
9 | 8 | 5

En el caso b), \(360\div10=36\) y
\(36=2^2\times3^2=2\times(2\times3^2)=3\times(2^2\times3)=(2^2)\times(3^2)=(2\times3)\times(2\times3)\), dando lugar a las siguientes combinaciones.

Alto | Ancho o largo | Largo o ancho
--- | --- | ---
10 | 2 | 18
10 | 3 | 12
10 | 4 | 9
10 | 6 | 6

En el caso c), \(360\div12=30\) y
\(30=2\times3\times5=2\times(3\times5)=3\times(2\times5)=5\times(2\times3)\), dando lugar a las siguientes combinaciones.

Alto | Ancho o largo | Largo o ancho
--- | --- | ---
12 | 2 | 15
12 | 3 | 10
12 | 5 | 6

2. - \(216=2^3\times3^3=2^2\times\left(2\times3^3\right)\), es decir, podemos armar un paquete de \(4\) pisos con \(54\) cajas cada piso.
   - \(2,500=2^2\times5^4=5\times\left(2^2\times5^3\right)\), por ejemplo, lo que permite armar un paquete de \(5\) pisos con \(500\) cajas cada piso.
   - \(539=7^2\times11\), lo que obliga a tener \(7\) u \(11\) pisos. Esta cantidad de cajas no puede disponerse en un paquete de pisos completos con menos de \(7\) pisos, por lo que es la respuesta correcta.

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