# Resolución del problema

## Divisores primos

En la exploración del problema, al trabajar con los croquis, lo que hacemos para encontrar los divisores de \(n\) es ir probando todos los números de uno en uno. Si el número es grande tendremos que hacer muchas pruebas y la mayoría de veces resultará que el número \(p\) que probamos no divide a \(n\).

Algo que seguramente pudiste observar al usar el croquis interactivo es que, si comienzas con \(p=1\) entonces \(p\lt q\). Al ir aumentando \(p\) llega un momento en el que la desigualdad se invierte, posiblemente pasando por una igualdad, y tenemos que \(p>q\). A partir de ese momento pasamos de nuevo por las mismas parejas de divisores pero con \(p\) y \(q\) invertidos, que representan los mismos rectángulos.

Lo anterior nos permite percatarnos de algo muy curioso e importante:

Si un número \(n\) no es primo, entonces hay un divisor \(p\) que es menor que o igual a la raíz cuadrada de \(n\).

Esto nos puede ahorrar muchísimas pruebas porque ya sabemos que no tenemos que seguir intentando con los números mayores que la raíz cuadrada de \(n\). Si llegamos a este punto habremos encontrado todos los posibles divisores de \(n\) en parejas de valores \(p\) y \(q\). Los divisores menores que la raíz cuadrada de \(n\) serán las \(p\) y las \(q\) serán los divisores mayores que el número cuyo cuadrado es \(n\).

Lo anterior indica que para encontrar los divisores de números hasta \(10,000\) basta probar con números hasta \(100\), que es la raíz cuadrada de \(10,000\).

Vamos a usar un resultado muy importante de las matemáticas.

Cualquier número entero, o bien es primo, o es un producto de números primos.

Lo anterior significa que cualquier número entero, si no es un número primo, se puede reescribir como la multiplicación de números primos.

## Descomposición de un número en sus factores primos

Dado un número natural \(n\) que no sea primo, según el resultado anterior podremos encontrar los números primos cuyo producto será \(n\). Si \(n\) es primo entonces no lo podemos descomponer como producto de otros primos.

Si tomamos \(n\) entre \(1\) y \(10,000\) bastará intentar dividirlo entre los números primos mayores que \(1\) y menores que \(100\), ya que \(100\) es la raíz cuadrada de \(10,000\). Como ya encontramos estos números primos podemos proceder a descomponer un número arbitrario perteneciente a este rango en sus factores primos. Una vez que practiquemos esto podremos escribir la lista de todos los divisores de \(n\).

A continuación trabajaremos con un número natural \(n\). Primero será \(360\) como en nuestro problema, pero al reiniciar la actividad se generará de manera aleatoria entre \(2\) y \(10,000\). Este número habrás de irlo dividiendo sucesivamente entre los números primos en el rango de \(1\) a \(100\). Al realizar este proceso obtendrás la descomposición en factores primos de \(n\).
Para hacerlo con orden y de forma adecuada es importante tomar como divisor de prueba el número primo más pequeño e ir avanzando en la lista cuando resulte que no puedes dividirlo más.
Al principio te puede resultar conveniente reducir \(n\) manualmente.

En tanto es frecuente que un número primo aparezca varias veces, la descomposición en factores primos suele escribirse usando potencias. Por ejemplo, para el número de cajas de nuestro problema tenemos que \[360=2\times2\times2\times3\times3\times5=2^3\times3^2\times5\] Esta notación nos permite abreviar la descomposición.

Preguntas

1. ¿Cómo se podrá obtener, a partir de la anterior notación de factores primos, la lista completa de todos los números enteros (primos y no primos) que dividen a un número \(n\) determinado?
2. ¿Cuántos divisores habrá en total, incluyendo tanto los divisores primos como los que no son primos?

Para encontrar la respuesta a estas preguntas, recuerda las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación.
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