# Formalización del problema

Como ya se mencionó al inicio de esta unidad, la parte 1) del problema consiste en encontrar los divisores de un número natural \(n\) para entonces poder pasar a la parte 2) y encontrar la solución óptima en términos de la menor cantidad posible de pies cuadrados de lona requerida para cubrir el paquete de \(n\) cajas.

En otras palabras, primero debemos de encontrar la lista de todos los divisores de un número natural \(n\) cualquiera y después la pareja de divisores que optimiza el valor \(L\) (la cantidad de lona, en pies cuadrados).

No siempre es lo mismo, pero en nuestro problema un paquete de \(p\times q\) cajas no lo consideraremos diferente de un paquete de \(q\times p\) cajas, ya que lo único que los distingue es la orientación de filas y columnas. Para nosotros los dos paquetes serán iguales, ya que requieren la misma cantidad de lona.

## Divisores de un número

Recordemos a qué nos referimos cuando hablamos de divisibilidad.

Divisibilidad
Dada una pareja de números enteros \(n\) y \(p\) decimos que \(p\) divide a \(n\), que \(n\) es divisible entre \(p\) o que \(p\) es un divisor de \(n\) cuando el cociente de \(n\) entre \(p\) es exacto.
En tal situación existirá un número entero \(q\) tal que \(n = p\times q\).
En particular \(n\) y \(p\) pueden ser números naturales, en cuyo caso \(q\) también lo será.
Escribimos \(p | n\) que se lee \(p\) divide a \(n\).

Lo primero que podemos inferir rápidamente de la definición de divisibilidad debido a la conmutatividad de la multiplicación es que, con la notación empleada, si \(p | n\) entonces también \(q | n\). Lo que significa que al encontrar un divisor por fuerza encontramos otro, que es el resultado de la división, es decir, el cociente.

¡Ojo! Lo anterior no quiere decir que \(p\) y \(q\) sean siempre diferentes. Por ejemplo, \(49 = 7\times7\), lo que muestra que \(p = q\) en este caso particular. Si reflexionamos un poco, podremos concluir que cualquier número que sea el cuadrado de un entero es divisible entre su raíz cuadrada.

Este par de divisores \(p\) y \(q\), tales que \(p\times q = n\) será siempre una posible solución a nuestro problema.

## Números primos

La lista de divisores de un número entero arbitrario \(n\) puede no ser muy grande. Sin embargo, para cualquier número entero \(n\) ocurrirá que \(1 | n\) y \(n | n\), ya que \(n\div1=n\) y \(n\div n=1\), esto es, la lista de divisores de \(n\) siempre contará con el \(1\) y \(n\) mismo.

Decimos que un número natural \(n\) es primo cuando es mayor que \(1\) y sus únicos divisores son \(1\) y \(n\) mismo.

En términos del problema que queremos resolver, si el número de cajas \(n\) es primo, entonces no podremos armar el paquete más que de una sola forma. Como apuntamos más arriba, un paquete de \(1\times n\) es lo mismo que un paquete de \(n\times1\), solo cambia la orientación de filas y columnas.

En el siguiente cuadro aparecen los número naturales del \(1\) al \(100\). La idea es que marques todos los números primos que encuentres con un clic. La lista resultante la utilizaremos más adelante.

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