# Resolución del problema

## La cubierta de costo mínimo

Para encontrar las dimensiones del paquete de cajas, en realidad no necesitamos escribir todos los divisores. Basta con que encontremos los más cercanos a la raíz cuadrada del número de cajas que denotamos por \(n\).

En el problema, si \(n = 360\) vemos que \(18\) y \(20\) son los más cercanos a la raíz cuadrada de \(360\) y por ello son la mejor elección.

¿Cómo hacemos esto? Tomamos la descomposición \(360=2^3\times3^2\times5\) y la dividimos en dos partes lo más cercanas posible, esto es, \((4\times5)\times (2\times9)\).

A continuación trabajaremos con un número natural \(n\) que representa la cantidad de cajas del paquete y del cual tenemos ya calculada la descomposición en factores primos. Este número primero será \(360\) como en nuestro problema, pero al reiniciar se generará de manera aleatoria entre \(2\) y \(10,000\).
Podrás construir el divisor \(p\) variando las potencias de los factores primos de \(n\) con los tres pulsadores. El valor de \(q\) se calculará automáticamente con base en el valor de \(p\).
La idea es encontrar las dimensiones de la cubierta óptima acercando \(p\) y \(q\) lo más posible. Intenta hacerlo sin recorrer toda la lista de posibles parejas de divisores.

Si por ejemplo, tomamos \(n = 361\) tenemos que su descomposición en factores primos es \(19\times19\), que nos da automáticamente la solución: un paquete cuadrado de \(19\) por \(19\) cajas.

Para \(n = 1024\) tenemos que su descomposición en factores primos es \(2^{10}=2^5\times2^5=32\times32\), que nos da automáticamente la solución: un paquete cuadrado de \(32\) por \(32\) cajas.

Para \(n = 1025\) tenemos que su descomposición en factores primos es \(5^2\times41\). Como en este caso no hay muchas opciones vemos que la solución es un paquete rectangular de \(25\) por \(41\) cajas.

Esta forma de resolver el problema, buscando dividir los factores en dos partes de tal forma que los productos de cada parte sean lo más parecidos posible entre sí, puede complicarse un poco si la descomposición incluye muchos números primos diferentes, pero en general tendremos que realizar muchas menos operaciones y pruebas. Definitivamente no tendremos que ver la divisibilidad intentando dividir \(n\) entre todos y cada uno de los números menores a él ni tampoco escribir la lista completa de divisores de \(n\).

### Tarea

Pensando en el problema original, donde \(n\) es el número de cajas cúbicas a transportar:

1. Encuentra la solución óptima para \(n=32, 33\) y \(9,999\).
2. Encuentra tres valores diferentes de \(n\) menores a 100,000 para los cuales la solución del problema sea un cuadrado y en la descomposición en factores primos de \(n\) solo aparezcan 3 números primos distintos menores que \(10\).
3. Explica por qué, cuando la solución al problema es un paquete exactamente cuadrado, las potencias de los primos que conforman la descomposición de \(n\) siempre son números pares. Explícalo con un caso concreto.

¡Trata de encontrar la solución por tu cuenta antes de oprimir el botón de abajo!

#### Respuestas

1. - \(32=2^5\), por lo que \(2^2\) y \(2^3\) son las dimensiones óptimas.
   - \(33=3\times11\), lo que muestra directamente la solución.
   - \(9,999=3^2\times11\times101=99\times101\), donde los dos últimos factores componen la solución óptima.
2. - \(n=2^2\times3^2\times5^2=900\).
   - \(n=2^4\times3^4\times7^2=63,504\).
   - \(n=3^4\times5^2\times7^2=99,225\).
3. En general, si el paquete es cuadrado entonces \(n=m\times m\). Si al descomponer \(m\) en sus factores primos tenemos que \[m=p_1^{e_1}\times p_2^{e_2}\times\dots\times p_k^{e_k},\] donde las \(p_i\) son \(k\) primos y las \(e_i\) las potencias correspondientes, para \(i=1,2,\dots k\).
   Entonces \[n=m\times m=\left(p_1^{e_1}\times p_2^{e_2}\times\dots\times p_k^{e_k}\right)\times \left(p_1^{e_1}\times p_2^{e_2}\times\dots\times p_k^{e_k}\right) =p_1^{2e_1}\times p_2^{2e_2}\times\dots\times p_k^{2e_k}\]
   Es decir, \(n\) se descompone en los mismos factores primos que su raíz cuadrada pero, como consecuencia de la multiplicación, los exponentes en la descomposición de \(n\) duplican a los exponentes en la descomposición de \(m\).
   Un ejemplo concreto es \(n=3,600=60\times60\), donde \[60 = 2^2\times3\times5\] Mientras que \[3,600=60\times60 = \left(2^2\times3\times5\right)\times\left(2^2\times3\times5\right)=2^4\times3^2\times5^2\]

Condiciones de uso