# Reflexiones y aplicaciones

## Calculando eclipses

Te sugerimos observar el siguiente video en el que se explica brevemente la dinámica de un eclipse solar (en el planeta Tierra) y por qué no vemos uno cada mes.
Solar Eclipse Educational Video (Video educacional de un eclipse solar)

¿Puedes ver alguna relación entre los eclipses solares y múltiplos y divisores? La Luna realiza una órbita alrededor de la Tierra cada 27 días. La Tierra realiza una órbita alrededor del Sol cada 365 días. Así es que hay 13 oportunidades de que haya un eclipse cada año, pues \(365=27\times 13+14\). Sin embargo, no vemos 13 eclipses al año, y esto se debe a la inclinación de 5 grados de la órbita de la Luna alrededor de la Tierra con respecto a la órbita de la Tierra alrededor del Sol. De no ser por esa inclinación, habría 13 eclipses solares cada año visibles desde algún lugar de la Tierra.

¿Cuál es la diferencia entre un eclipse solar y un eclipse lunar? Veamos.

En el siguiente video se explica qué es un eclipse lunar (en el planeta Tierra).
What Is A Lunar Eclipse? (¿Qué es un eclipse lunar?)

Como pudiste ver, un eclipse lunar ocurre cuando la órbita de la Luna y la de la Tierra son coplanares, es decir que están en el mismo plano. En un eclipse solar, la Luna "se interpone" entre el Sol y la Tierra, y en un eclipse lunar, la Tierra se interpone entre entre el Sol y la Luna. En general un eclipse ocurre cuando un astro se interpone entre otros dos o más. Veamos otro ejemplo de eclipses lunares.

## Eclipses en un planeta con siete lunas

Consideremos el caso hipotético del planeta Septem 13044 b, que tiene siete lunas cuyas órbitas son coplanares con la órbita del planeta. Esto quiere decir que en puede haber varios tipos de eclipses y estos siempre son visibles desde el planeta. Las lunas tienen nombres largos o complicados, así es que para simplificar las llamaremos \(L_1\), \(L_2\), \(L_3\), \(L_4\), \(L_5\), \(L_6\) y \(L_7\). La luna \(L_1\) completa un ciclo alrededor del planeta en un año Septemiano, a la luna \(L_2\) le toma dos años, a la luna \(L_3\) tres años, la luna \(L_4\) cuatro años y así sucesivamente.

¿Cuáles son los tipos de eclipses que puede haber?

- Cuando dos de las lunas se alinean con el planeta se llama eclipse lunar.
- Cuando tres de las lunas se alinean con el planeta se llama doble eclipse.
- Cuando se alinean cuatro se llama triple eclipse, y así sucesivamente.
- A veces se alinean las siete lunas con el planeta y esto se llama súper eclipse.

Problema
Sería interesante saber cuándo ocurre un súper eclipse. ¿Cómo resolverías ese problema?

Podemos comenzar por ver cuándo ocurre un eclipse lunar, es decir, cuando dos lunas se alinean con el planeta. Para entender mejor el problema, partamos de un momento en el que hubo tal eclipse lunar. ¿Cuántos ciclos completará cada una de las lunas para volver a ese punto inicial? Observa que esta pregunta es equivalente a preguntarse después de cuántas vueltas dos engranes con distinto número de dientes vuelven a su posición inicial.

Hagamos la prueba con las lunas \(L_6\) y \(L_4\). Ya sabemos que la respuesta es el mínimo común múltiplo de \(6\) y \(4\), es decir \(12\), ya que \(mcm(6,4)=12\). En otras palabras, habrá un eclipse lunar con las lunas \(L_6\) y \(L_4\) cada doce años.

Podemos hacer el mismo procedimiento con cada par de lunas.

Observa que el mínimo común múltiplo de \(1\) y cualquier otro número, digamos \(n\), es \(n\), pues \(1\times n=n\) y no hay otro más pequeño. Por eso, los eclipses lunares de la Luna \(L_1\) con las otras lunas se dan cada \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\) y \(7\) años, respectivamente.

### Tarea

¿Cada cuándo hay un súper eclipse en el planeta Septem 13044 b?

Te sugerimos ir anotando tus observaciones y deducciones, de manera que tengas a la mano toda la información de la que dispones para resolver el problema.

#### Solución de la tarea

En el ejemplo obtuvimos que el periodo de un eclipse lunar entre las lunas \(L_i\) y \(L_j\) es el \(mcm(L_i,L_j)\). Siguiendo este razonamiento, para saber cuándo se da un doble eclipse lunar, es decir cuando se alinean tres lunas con el planeta, habría que obtener el mínimo común múltiplo de tres números. Por ejemplo, un eclipse entre las lunas \(L_1\), \(L_2\) y \(L_4\) se da cada cuatro años, pues el \(mcm(1,2,4)=4\), ya que \(4\) es múltiplo de estos tres números.

Un triple eclipse lunar, cuando se alinean cuatro lunas con el planeta, se da en el mínimo común múltiplo de cuatro números, y así sucesivamente. O sea que para saber cuándo se da un súper eclipse hay que calcular el mínimo común múltiplo de los números \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\) y \(7\). Este número es \(210\). Puedes verificarlo escribiendo las tablas de múltiplos de estos números y viendo cuál es el primer múltiplo que es múltiplo de los siete números.

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