# Resolución del problema

## Algunas parejas que funcionan

Recordemos el problema que planteamos al inicio de esta unidad.

Problema
Tenemos dos engranes entrelazados que tienen \(p\) y \(q\) dientes respectivamente, donde \( 4≤q≤p≤12\). Encuentra los valores de \(p\) y \(q\) para los que el diente marcado de uno de los engranes se encaje en cada hueco del otro engrane a medida que los engranes giran.

En la Exploración investigamos las relaciones que hay entre el número de dientes de cada engrane, el número de vueltas que da cada engrane para regresar a la posición inicial y el número de dientes encajados. En la Formalización definimos los conceptos de múltiplos, factores y divisores de un número, así como múltiplos y divisores comunes a dos o más números, y el mínimo común múltiplo y máximo común divisor. También conocimos el concepto de primos relativos, y su relación con los números analizados en la Exploración. Usaremos toda esta información para encontrar la solución al problema.

Utiliza el entorno interactivo de siempre para explorar 9 casos específicos: las parejas (5,5), (6,5), (6,6), (7,5), (7,6), (7,7), (8,5), (8,6), (8,7) y (8,8). Responde algunas preguntas que te pueden servir como guía en la búsqueda de la solución a nuestro problema.

Selecciona el número de dientes de cada engrane presionando sobre los pulsadores correspondientes, el izquierdo para el engrane azul y el derecho para el engrane naranja. Presiona sobre el botón 'Mover' para hacer girar los engranes. Con las flechas izquierda y derecha puedes hacer girar los engranes diente por diente.

Hagamos una recapitulación.

- Las parejas (5,5), (6,6), (7,7) y (8,8) no funcionan, es decir, las que tienen el mismo número de dientes.
- Las parejas (6,5), (7,6) y (8,7) funcionan. Observa que estas parejas tienen un número de dientes consecutivo.
- Y finalmente, las parejas (7,5) y (8,5) también funcionan.

Ahora busca la respuesta a las siguientes preguntas.

Preguntas

1. ¿Cómo se relacionan los números de las cinco parejas encontradas que funcionan?
2. ¿Habrá otras parejas que también resuelven nuestro problema?
3. Usando las parejas inversas de las parejas estudiadas, —por ejemplo: (5,6), (5,7), (6,7), (5,8), (6,8) y (7,8)—, ¿obtienes los mismos resultados que para las parejas originales (6,5), (7,5), (7,6), (8,5), (8,6) y (8,7)?

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