# Formalización del problema

## ¿Qué es el divisor de un número?

En la página anterior recordamos varios conceptos importantes para poder dar respuesta al problema planteado. Ahora recordaremos otros conceptos también importantes: qué es un divisor de un número, qué es un divisor común, y qué relación tiene el divisor de un número con sus factores.

Divisores
Los divisores de un número son los números que lo dividen de manera que el resultado del cociente es un número entero y el residuo es \(0\).
Por ejemplo, \(5\) es divisor de \(75\), pues el cociente \(75/5\) es \(15\), que es un número entero, y al dividir \(75\) entre \(5\), el residuo es \(0\).
\(5\) no es divisor de \(38\), pues al dividir \(38/5\) el residuo no es \(0\), sino \(3\). Para que el residuo de dividir \(38\) entre \(5\) sea \(0\) tendríamos que considerar números no enteros:
Diremos que un número divide a otro si cumple estas dos condiciones: el resultado de la división es un número entero y el residuo es \(0\).
Divisor común
Un número que divide a dos o más números es un divisor común de esos números. Por ejemplo \(5\) es un divisor común de \(20\) y de \(75\).

Hagamos algunas observaciones sobre estos conceptos y los ejemplos que dimos por medio de las siguientes preguntas.

Ya vimos que \(5\) es divisor de \(20\), de \(75\) y de muchos otros números. De hecho, \(5\) es divisor de una infinidad de números (pues hay una infinidad de números enteros). ¿Puedes dar algunos?

Vimos también que \(5\) es factor de \(20\) y de \(75\), pues \(20=5\times 4\), es decir que \(5\) está contenido en \(20\) cuatro veces; y \(75=5\times 15\), es decir que \(5\) está contenido en \(75\) quince veces. Además, de manera general, los factores de un número son también sus divisores.

Volvamos a las observaciones que hiciste en la tercera página de la Exploración. Precisaremos estas observaciones usando las definiciones que se dieron al principio de esta página. A partir de ellas y de la exploración del entorno interactivo, puedes responder a las preguntas que se plantearon en la página 3 de la sección Exploración. Enseguida se muestra el entorno interactivo de la página anterior con otro dato más.

Selecciona el número de dientes de cada engrane presionando sobre los pulsadores correspondientes, el izquierdo para el engrane azul y el derecho para el engrane naranja. Presiona sobre el botón 'Mover' para hacer girar los engranes. Con las flechas izquierda y derecha puedes hacer girar los engranes diente por diente.

Ya habíamos observado que el número de vueltas que da el engrane naranja para volver por primera vez a su posición inicial también es el número de puntos naranja marcados en los huecos del engrane azul. Veamos qué relación tienen estos puntos con los divisores del número de dientes del engrane azul.

El número de puntos naranja marcados en los huecos del engrane azul es entonces un divisor de su número de dientes. Además, como el número de dientes encajados entre el número de vueltas que da ese engrane es un número entero e igual al número de dientes del engrane, entonces el número de vueltas del engrane es divisor del número de dientes encajados. Con esto hemos respondido a las preguntas planteadas en la página 3 de la sección Exploración.

Así como existe un mínimo común múltiplo, también hay un máximo común divisor. Consideremos nuevamente dos números naturales cualquiera.

El más grande de los divisores comunes de dos números \(a\) y \(b\) se llama máximo común divisor y se denota por \( MCD(a,b) \).

A continuación se muestran nuevamente dos engranes cuyo número de dientes puede seleccionarse con un pulsador para cada uno. Se muestra también el máximo común divisor del número de dientes de cada engrane. Presiona sobre el botón 'Mover' para hacer girar los engranes.

Recordemos la nomenclatura de la página anterior: dA es el número de dientes del engrane azul, dN al número de dientes del engrane naranja, vA al número de vueltas que da el engrane azul, y vN el número de vueltas que da el engrane naranja. Sin embargo, hay otro par de números que es relevante: el que aparece en la oración abajo de los engranes cuando dejan de girar. Les llamaremos VA y VN respectivamente. Entonces la frase queda como: "Observa que este engrane da VA vueltas por cada VN que da este otro". Fíjate en que, para el mismo par de engranes, estos números no cambian aunque presiones el botón 'Mover' más de una vez, y que cuando lo presionas por primera vez vA y vN coinciden con VA y VN, respectivamente.

Vimos que \(MCD(12,8)=12/3=8/2=4\). En general, el máximo común divisor de \(dA\) y \(dN\), es \(dA/VN\) o \(dV/VA\), es decir:

\[MCD(dA,dN)=dA/VN=dV/VA\] Además: \[MCD(dA,dN)=MCD(dN,dA)\]

Es importante considerar el número de vueltas para volver por primera vez a la posición inicial, pues si consideramos la segunda vez, la tercera vez,... que los engranes regresan a la posición inicial, obtendríamos divisores del número de dientes encajados, pero no necesariamente divisores del número de dientes de cada engrane. Veamos un ejemplo.

Cuando la pareja (12,8) regresa por tercera vez a la posición inicial, el engrane azul dio 6 vueltas y el naranja dio 9. Si dividimos el número de dientes de un engrane entre el número de vueltas del otro, se obtienen las fracciones \(12/9\) y \(8/6\). Una fracción puede interpretarse como una división; si hacemos estas divisiones, el resultado no es un número entero. Sin embargo, son fracciones equivalentes y ambas pueden reducirse a la fracción irreductible (es decir, que no puede reducirse más) \(4/3\).

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