# Formalización del problema

## Inducción sobre el primer parámetro

Nota: Esta página en particular contiene material muy importante, en términos matemáticos formales. Sin embargo, el contenido es un poco denso y es opcional. Si estás más interesado en conocer la construcción de la solución del problema, avanza y regresa a esta parte después cuando prefieras.

La fórmula de la opción 5 de la página anterior es válida para cualquier número natural \(n\), esto es, \[1+2+\dots+(n-1)=\frac{n(n-1)}2.\]

### Tarea

Trata de aplicar el principio de inducción matemática para corroborar la fórmula anterior.
Recuerda que este principio tiene dos partes:

1. Verificar la propiedad, en este caso la fórmula, para un valor inicial.
   En este caso, dicho valor puede ser \(1\).
2. Dar por hecho que la fórmula es válida para un número natural arbitrario \(n\), y transformar la fórmula según lo que pasa al incrementar en 1 ese número.
   En este caso, obtén la fórmula para el siguiente número natural \(m=n+1\).

¡Haz un intento de encontrar el proceso de inducción antes de ver la solución!

## Solución

Veremos que la fórmula\[1+2+\dots+(n-1)=\frac{n(n-1)}2\]es válida para cualquier número natural \(n\ge1\).

Si \(n=1\) entonces \[\frac{n(n-1)}2=\frac{1(1-1)}2=\frac{1\times0}2=0\] que coincide con la suma de los números natuales menores que \(1\), que, como no hay números que sumar, es cero. La fórmula es válida si \(n=1\).

Demos por hecho que la fórmula vale para un número natural cualquiera \(n\) y tomemos \(m=n+1\).

La fórmula para \(m\), misma que queremos ver si se cumple, es

Si calculamos esta última suma de la parte derecha de la igualdad tenemos que \[\frac{n(n-1)}2+n=\frac{n(n-1)}2+\frac {2n}2=\frac{n(n-1)+2n}2=\frac{n^2-n+2n}2=\frac{n^2+n}2=\frac{(n+1)n}2\]
Como \(m=n+1\) pero también \(n=m-1\) tendremos que el último valor \[\frac{(n+1)n}2=\frac{m(m-1)}2\] Esta es la parte derecha de la fórmula que queremos verificar.
Como la parte izquierda es igual a la derecha, la fórmula es válida para \(m=n+1\).
Como se cumplen los dos supuestos del principio de inducción matemática, la fórmula es válida para cualquier número natural \(n\ge1\).

Problema
Ahora reproduce el razonamiento anterior para demostrar la validez de la siguiente fórmula, misma que permite calcular la suma de los primeros \(n\) números naturales.\[1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}2\]

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