Demostración por contrarrecíproca

En lógica, la contraposición de una declaración condicional se forma negando ambos términos e invirtiendo la dirección de la inferencia. Explícitamente, la contraposición de la declaración "si A, entonces B" es "si no B, entonces no A." Una declaración y su contrapositiva son lógicamente equivalentes: si la afirmación es cierta, entonces su contrapositivo es cierto, y viceversa.


p q ¬p ¬q Directa Recíproca Contraria o inversa Contrarrecíproca o contraposición
p \( \rightarrow\) q q \( \rightarrow\) p ¬p \( \rightarrow\) ¬q ¬q \( \rightarrow\) ¬p
V V F F V V V V
V F F V F V V F
F V V F V F F V
F F V V V V V V

Esta estructura nos permite hacer demostraciones matemáticas y el método es conocido como demostración por contrarrecíproca. Suponemos que la conclusión \( Q \) (tesis) es falsa para concluir que \( P \) (hipótesis) es falsa.

\( (P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow ( ¬ Q \Rightarrow ¬ P) \)

Ejemplo: demostraremos la siguiente sentencia:

“Para cada entero \(n\), si \(5n + 3\) es par, entonces \(n\) es impar”.

Su contrarrecíproca sería:

“Para cada entero \(n\), si \(n\) no es impar, entonces \(5n + 3\) no es par”.

Sea \(n\) cualquier número entero. Si \(n\) no es impar \(n ≠ 2k + 1\), para cualquier entero \(k\) y por lo tanto, \(5n + 3 ≠5(2k + 1) + 3\), \(∀k ∈ Z\)
De aquí que \(5n + 3 ≠2(5k + 4)\), \(∀k ∈ Z\)
Como \(k\) es entero, \(5k + 4\) también lo es,lo llamaremos \(m\). Tenemos que \(5n + 3 ≠2m\), \(∀m ∈ Z\)
Por lo tanto, de acuerdo con la definición, \(5n + 3\) no es par y la demostración concluye.

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