Definición y algunas propiedades de relaciones

Recordemos que una relación entre los elementos de dos conjuntos dados $A$ y $B$ va a ser simplemente un subconjunto del producto cartesiano $A \times B$. Los conjuntos $A$ y $B$ son dos conjuntos arbitrarios. Es frecuente que los dos conjuntos coincidan, en cuyo caso simplemente decimos que $R$ es una relación en $A$.

En este caso podemos definir ciertas propiedades de las relaciones en el conjunto $A$. Decimos que una relación $A$ es:

1. Reflexiva si para todo elemento $a \in A$ tenemos que $(a,a) \in A$.
2. Simétrica si para todo par $(a,b) \in A$ tenemos que $(b,a) \in A$.

3. Transitiva si para $(a,b) \in A$ y $(b,c) \in A$ tenemos que $(a,c) \in A$.

En general, una relación arbitraria en $A$, i.e. la relación es un subconjunto de $A \times A$, no tiene conjuntamente estas propiedades. Cuando una relación tiene estas tres propiedades, decimos que tenemos una relación de equivalencia.

Para contrastar, vamos a definir propiedades de una relación $R$ en $A$ que son opuestas a las que acabamos de definir.
Decimos que una relación $R$ en $A$ es:

1. Irreflexiva si para todo elemento $a \in A$ tenemos que $(a,a) \notin A$.
2. Antisimétrica si dados $(a,b) \in A$ y $(b,a) \in A$ tenemos que $a=b$ para todo $a, b \in A$.

La relación idéntica

Una relación muy simple pero importante es la relación de identidad $\Delta_A$, que consiste de la diagonal de $A \times A$, i.e., todas las parejas $(a, a)$ con $a$ un elemento de $A$.

Es fácil de ver que si componemos $\Delta_A$ con $R$, obtenemos que $R \circ \Delta_A = R$ y $\Delta_A \circ Q = Q$, donde $Q$ es una relación en $A \times A$.

La relación inversa

Dada una relación $R$ en $A$, podemos construir una nueva relación $R^{-1}$ llamada la relación inversa de $R$, definida como:
$R^{-1} = \lbrace (b,a)|(a,b) \in R \rbrace$

Podemos ahora expresar las propiedes reflexiva, simétrica, transitiva, irreflexiva y antisimétrica en términos de la identidad $\Delta_A$, $R$ y $R^{-1}$:

1. Una relación $R$ en $A \times A$ es reflexiva, si y sólo si $\Delta_A \subseteq R$.
2. Una relación $R$ en $A \times A$ es simétrica, si y sólo si $R^{-1} = R$.
3. Una relación $R$ en $A \times A$ es transitiva, si y sólo si $R \circ R \subseteq R$.
4. Una relación $R$ en $A \times A$ es irreflexiva, si y sólo si $R\ \cap \Delta_A = \emptyset$.
5. Una relación $R$ en $A \times A$ es antisimétrica, si y sólo si $R\ \cap R^{-1} \subseteq \Delta_A$.

En las siguientes escenas interactivas se presentará un método para hacer que relaciones que no son ni reflexivas ni simétricas ni transitivas tengan alguna de estas propiedades o dos de ellas o incluso las tres.