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Relaciones de Equivalencia

    El concepto de Relación de Equivalencia tiene gran importancia en las matemáticas. Por ejemplo, se usa para definir nuevos conceptos en términos de conceptos conocidos:
    1. Se definen los enteros en términos de los naturales y la suma de éstos, definiendo que dos pares de naturales (a,b) y (c,d) son equivalentes si a+d=b+c.
    2. Se definen los racionales en términos de los enteros y la multiplicación entre éstos, definiendo que dos pares de enteros (a,b) y (c,d) son equivalentes si a×d=b×c.
    3. Se definen los reales en términos de los racionales y sucesiones de ellos, definiendo que dos pares de sucesiones de racionales {qn}, {rn} son equivalentes si su diferencia es una sucesión nula, i.e. lim(qn−rn)→0 cuando n→0.
    4. Se define el concepto de ángulo en términos de clases de equivalencia de arcos subtendidos en círculos concéntricos.
    5. Se define el concepto de dirección en términos de clases de equivalencia de líneas paralelas.

    También se usa para calcular en términos de operaciones básicas, o para simplificar entidades en términos de entidades equivalentes más sencillas:
    1. Encontrar una máquina de estado finito con un número mínimo de estados que realiza la misma tarea que una máquina de estado finito dada.  Por ejemplo, la siguiente figura muestra dos autómatas que aceptan el mismo lenguaje:

    2. Para encontrar la solución de ecuaciones lineales simultáneas en términos de operaciones elementales, tales como multiplicar la 2da ecuación por una constante y sumársela a la 1era ecuación. Haciendo esto con el sistema de dos ecuaciones 2x−3y=5 x+y=2
      resulta en el sistema:
      2x−3y=5 −5y=1

      Los dos sistemas son equivalentes en el sentido de que las soluciones de uno coinciden con las soluciones del otro.
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