Sumas en base binaria

Comencemos con sumas en base binaria. Recuerda que, en base binaria, sólo cuentas con dos distintos símbolos, el $0$ que representa ausencia de conteo y el $1$ que representa un elemento contado. También ten en mente que cuando quieres contar un número mayor a la base, es necesario recurrir a dígitos más a la izquierda del que estás abordando.

A continuación se presenta una escena interactiva en la que puedes revisar paso a paso ejemplos de sumas de números binarios dados al azar. Presta atención a la explicación de cada paso. Trata de encontrar la analogía con la forma en que se suman números en la ya conocida base decimal.

Cuando el resultado de una suma es $0$ o $1$ (que corresponde al número de elementos contados), estos son dígitos permitidos en el dígito correspondiente del resultado. Sin embargo, seguro notaste que cuando el resultado es $2$ o $3$ (elementos contados), ya no puedes representarlos, pues exceden a la base y por lo tanto a los símbolos del sistema binario. Dos elementos contados corresponde a $10$ en binario, y tres elementos contados corresponde a $11$ en binario. En ambos casos fue necesario agregar un $1$ como siguiente dígito. Pero este dígito corresponde a un orden de magnitud mayor. Orden de magnitud simplemente corresponde a un dígito mayor, que implica que el símbolo ahí puesto conlleva un producto adicional por $2$ (como practicaste ya en la unidad de Cambio de base).

Es interesante hacer la analogía con la base decimal. Supón, como ejemplo para este caso, que sumas dos números a la altura de las unidades que resulta ser $15$. En el dígito de las unidades debes dejar $5$ y pasar o acarrear una unidad al dígito de la izquierda. Claro, el dígito de la izquierda corresponde a las decenas, por lo que esta unidad que pasaste va multiplicada por $10$ en lugar de $1$. Es decir que está en un orden de magnitud mayor. Y es precisamente por ello que se puede sumar con las decenas. Lo mismo ocurre para el binario, con la salvedad de que sólo cuentas con dos símbolos distintos, no diez como en el caso decimal.

Restas en base binaria

Ahora nos fijaremos en las restas en base binaria. Seguro recuerdas que en base decimal, cuando el dígito del minuendo es menor que el del sustraendo, la regla es que se toman prestadas unidades del dígito del minuendo a la izquierda. Aquí verás, para el caso binario, cómo ocurre esto y por qué se vale tomar prestado.

Considera el siguiente ejemplo que te ayudará en el interactivo a continuación. Toma el número $100$ en binario. Si te colocas en el segundo dígito del mismo (que tiene valor de $0$), puedes usar el $1$ a su izquierda (en el tercer dígito). Ese $1$ en el tercer dígito sabes que corresponde a dos unidades en el segundo dígito (que es en el que te encuentras). De alguna forma, puedes tomarlo prestado, con lo que quedas con dos elementos en tu segundo dígito. Esto es particularmente útil cuando la resta en un dígito particular de dos números binarios resulta negativo. Puedes entonces tomar prestada una unidad del dígito de la izquierda para que la resta tenga sentido y no quede negativa. Claro que eventualmente deberás pagar esa unidad prestada.

A continuación se presenta una escena interactiva en la que puedes revisar paso a paso ejemplos de restas de números binarios dados al azar. Presta atención a la explicación de cada paso. Trata de encontrar la analogía con la forma en que se restan números en la ya conocida base decimal.

Ahora seguramente notaste que el tomar prestadas unidades de los dígitos a la izquierda equivale a romper la unidad de un dígito mayor (o a la izquierda) para usar sus partes en tu dígito cuando el resultado de la sustracción queda negativo. Esto es muy similar al caso de las restas en base decimal, sólo que en el caso decimal, cada unidad que rompes de un dígito a la izquierda se rompe en diez unidades en el dígito en el que estás. ¡Claro, recuerda que en la unidad sobre cambio de base viste que cuando cuentas elementos, el dígito a la izquierda sube una unidad cada vez que cuentas un total de diez elementos en el dígito en el que estás colocado!