Criterio de Divisibilidad

Hemos visto en la sección de Inicio que para $a$ y $b$ números enteros, con $b>0$, existen enteros $q$ y $r$ únicos tales que $0 \leq r < b$. Por otra parte, $a|b$ denota: $a$ divide a $b$, es decir, $a$ es divisor de $b$, que es equivalente a decir que $b$ es múltiplo de $a$ o que $b$ es divisible por $a$.

Teorema

1. Para $a$, $b$, $c$ números enteros, si $a|b$ y $a|c$, entonces $a|(b+c)$
2. Para $a$, $b$, $c$ números enteros, si $a|b$ pero $a\nshortmid c$, entonces $a\nshortmid (b+c)$
3. Para $a$, $b$, $m$ números enteros, con $m \neq 0$, $a|b$ si y sólo si $ma|mb$
4. Para $a$, $b$, $c$ números enteros, si $a|b$ y $b|c$, entonces $a|c$
5. Para $a$, $b$, $c$ números enteros, si $a|(bc)$ y $mcd(a,b)=1$, entonces $a|c$

Usando este teorema y el algoritmo de la división podemos enunciar la siguiente generalización.

Generalización del criterio de Divisibilidad

Un número entero positivo se puede representar por la suma de su unidades, más sus decenas, más sus centenas, etc. Por ejemplo si queremos representar el número $345$, este se puede ver cómo la suma de $5$ más $4$x$10^1$ más $3$x$10^2$. Este tipo de representación se denomina representación decimal y ésta nos ayuda a describir el criterio de divisibilidad para el caso general:

Sea $n$ un entero positivo, y sea $\sum_{i=1}^{k} a_i 10^i$ su representación decimal, y sean $r_i$ los restos de la división de $10^i$ por $p \geq 2$, $i=1,2,.....,k$. Entonces:

$n$ es divisible por $p$ si, y sólo si lo es $\sum_{i=1}^{k} a_i r_i$

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Divisibilidad y El Calendario Mexica

La división del tiempo para los antiguos mexicanos estaba compuesto de 18 meses llamados metztli de 20 días cada uno. Cinco días componían una semana y de éstos, el quinto día, tianquiztli, era dedicado al mercado. Así, el año se completaba a 365 días con la adición de 5 días "vacíos" llamados nemontemi, en estos días cesaba toda actividad normal, eran dedicados al ayuno y la abstinencia. Así tenemos 18 x 20 = 360 + 5 = 365