Ahora que conocemos cómo es el algoritmo de la división, podemos definir lo que es la divisibilidad. Aunque el conjunto de los números enteros $\mathbb{Z}$ no es cerrado en la operación del cociente, hay muchos casos en los que un número entero divide a otro, dando como resultado otro entero. Por ejemplo $2$ divide a $18$ y $5$ divide a $−40$. La división es exacta, es decir el residuo es cero. Así pues, el que $2$ divida a $18$ implica la existencia de un cociente, $9$, tal que $18 = 2 · 9$, este concepto se conoce como divisibilidad, se puede decir que $18$ es divisible cuando tiene un divisor diferente de $1$ de tal forma que su residuo es cero.

Formalmente la divisibilidad se define como:

Sean $a$ y $b$ dos números enteros tales que $a \neq 0$. Diremos que $a$ divide a $b$ si existe un número entero $q$ tal que $b = a · q$. Suele notarse $a \mid b$, es decir,

Existen algunas expresiones equivalentes a “$a$ divide a $b$” como, “$a$ es un divisor de $b$” o “$b$ es múltiplo de $a$” o “$b$ es divisible por $a$”.

Ejemplos:

• $−7$ divide a $−21$ ya que $−21 = (−7)3$, con $3 \epsilon \mathbb{Z}$.
• $3$ no divide a $5$ ya que no existe ningún número entero $q$ tal que $5 = 3 · q$.

Propiedades

Sean $a$, $b$ y $c$ tres números enteros, siendo $a$ y $b$ distintos de cero. Se verifica que:

• $1$ divide a “$a$” y “$a$” divide a $0$.
• Si “$a$” divide a “$b$” y “$b$” divide a “$a$”, entonces $a = ±b$.
• Si “$a$” divide a “$b$” y “$b$” divide a “$c$”, entonces “$a$” divide a “$c$”.
• Si “$a$” divide a “$b$” y “$a$” divide a “$c$”, entonces “$a$” divide a $pb + qc$, cualesquiera que sean $p$ y $q$, enteros. (A la expresión $pb + qc$ se le llama combinación lineal de $b$ y $c$ con coeficientes enteros).