En esta sección estableceremos que bajo el algoritmo de la división de dos números, el cociente y el resto de la división son únicos. Y para esto estipularemos la existencia y unicidad de cociente y resto. Veamos.

Teorema: Si $a$ y $b$ son números enteros con $b > 0$, entonces existen dos enteros, $q$ y $r$, únicos, tales que $a = bq + r$, con $0 \leq r < b$. A los números $a, b, q$ y $r$ se les suele llamar, respectivamente, dividendo, divisor, cociente y resto.

Demostración

Existencia de $q$ y $r$.

Bastaría con tomar un número entero tal que $bq$ sea el mayor de los múltiplos de $b$ menor o igual que $a$, es decir tal que $bq \leq a$.

Una vez obtenido el cociente q, podemos calcular el resto $r$:

$r = a -bq$

Por otro lado, si $bq \leq a < b(q + 1)$

Entonces

$bq \leq a < b(q + 1)$ → $bq - bq\leq a - bq < b(q + 1) - bq$

→ $0 \leq a - bq < b$

→ $0 \leq r < b$

Por lo que existen enteros tales que,

$a = bq + r$, con $0 \leq r < b$

Unicidad de $q$ y $r$.

Ahora supongamos que no son únicos. Supongamos que existen $r_1$, $r_2$, $q_1$ y $q_2$ enteros tales que,

$a = bq_1 + r_1 : 0 \leq r_1 < b$

$a = bq_2 + r_2 : 0 \leq r_2 < b$

Entonces,

$bq _1 + r _1 = bq_2 + r_2 → r_2 - r_1 → b|q _1 - q_2| = |r_2 - r_1|$

$0 \leq r_1, r_2 < b$

$0 \leq |r_2 - r_1| < b$

luego

$b|q_1 - q_2| = |r_2 - r_1|$

y

$r_2 - r_1 < b$

→ $b|q_1 - q_2| < b$

→ $b(1 - |q_1 - q_2|) > 0$

y al ser $b > 0$, se tiene que

$1 - |q_1 - q_2| > 0$

de donde se sigue que

$0 \leq |q_1 - q_2| < 1$

y como $q_1$ y $q_2$ son enteros,

$|q_1 - q_2| = 0$

por tanto

$q_1 = q_2$

de donde se sigue que

$r_1 = r_2$