En esta sección estableceremos que bajo el algoritmo de la división de dos números, el cociente y el resto de la división son únicos. Y para esto estipularemos la existencia y unicidad de cociente y resto. Veamos.

Teorema: Si \(a\) y \(b\) son números enteros con \(b > 0\), entonces existen dos enteros, \(q\) y \(r\), únicos, tales que \(a = bq + r \), con \(0 \leq r < b\). A los números \(a, b, q\) y \(r\) se les suele llamar, respectivamente, dividendo, divisor, cociente y resto.

Demostración

Existencia de \(q\) y \(r\).

Bastaría con tomar un número entero tal que \(bq\) sea el mayor de los múltiplos de \(b\) menor o igual que \(a\), es decir tal que \(bq \leq a\).

Una vez obtenido el cociente q, podemos calcular el resto \(r\):

\(r = a -bq\)

Por otro lado, si \( bq \leq a < b(q + 1) \)

Entonces

\( bq \leq a < b(q + 1)\) → \(bq - bq\leq a - bq < b(q + 1) - bq \)

→ \(0 \leq a - bq < b\)

→ \(0 \leq r < b\)

Por lo que existen enteros tales que,

\(a = bq + r\), con \(0 \leq r < b\)

Unicidad de \(q\) y \(r\).

Ahora supongamos que no son únicos. Supongamos que existen \(r_1\), \(r_2\), \(q_1\) y \(q_2\) enteros tales que,

\( a = bq_1 + r_1 : 0 \leq r_1 < b \)

\( a = bq_2 + r_2 : 0 \leq r_2 < b \)

Entonces,

\( bq _1 + r _1 = bq_2 + r_2 → r_2 - r_1 → b|q _1 - q_2| = |r_2 - r_1| \)

\( 0 \leq r_1, r_2 < b \)

\( 0 \leq |r_2 - r_1| < b \)

luego

\( b|q_1 - q_2| = |r_2 - r_1| \)

y

\( r_2 - r_1 < b \)

→ \( b|q_1 - q_2| < b \)

→ \( b(1 - |q_1 - q_2|) > 0 \)

y al ser \( b > 0\), se tiene que

\( 1 - |q_1 - q_2| > 0 \)

de donde se sigue que

\( 0 \leq |q_1 - q_2| < 1 \)

y como \(q_1\) y \(q_2\) son enteros,

\( |q_1 - q_2| = 0 \)

por tanto

\( q_1 = q_2 \)

de donde se sigue que

\( r_1 = r_2 \)