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Solución del oscilador armónico amortiguado

En este caso consideraremos una fuerza adicional debida al amortiguamiento, mejor conocida por fuerza de fricción. Este fenómeno se presenta más en la mecánica debido a la presencia de medios como agua y aire en los diversos sistemas.

La ecuación de este modelo es:

md2ydt2=−ky−bdydt ;

b es el coeficiente de amortiguamiento.

Como hicimos en el oscilador armónico, podemos convertir esta ecuación en un sistema de dos ecuaciones de primer grado, apareciendo el término de la velocidad:

v=dydt
dvdt=−kmy−bmv

Como podemos notar, es de esperarse que al transcurrir el tiempo, tanto la velocidad como la posición de la masa tiendan a cero. Las formas geométricas de la solución son espirales, independientemente de las condiciones iniciales que se elijan, pero éstas determinan el tamaño de las espirales. Como en el caso del oscilador armónico, se sigue viendo el comportamiento de la máxima velocidad cuando la masa se encuentra en el punto de equilibrio, aunque ésta disminuye hasta llegar a su estabilidad.


En el siguiente espacio se muestra el espacio fase de un oscilador armónico amortiguado. Utiliza los pulsadores para modificar las condiciones inicales. La gráfica de color azul corresponde a la posición de la masa y la roja a su velocidad.


Finalmente, aunque no hallamos realizado el cálculo analítico para obtener la solución, con las gráficas tenemos una idea de cómo pueden estar dadas. Se nota que la solución sigue estando determinada por senos y cosenos, cuya amplitud va disminuyendo de forma exponencial conforme transcurre el tiempo, por lo que una posible solución sería:

y(t)=eatsen(wt)
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