A continuación haremos el análisis matemático de la ecuación del oscilador armónico, y posteriormente identificaremos sus propiedades geométricas, las cuales nos permiten identificar el comportamiento de diversos fenómenos.

La forma matemática en la que se presenta el oscilador es una ecuación diferencial de segundo orden:

Para poder entender cada término de la ecuación usaremos como modelo el sistema masa-resorte-amortiguador. Este sistema es un resorte que tienen en uno de sus extremos una masa y el otro extremo está sujeto a un techo. Cuando se analiza algún fenómeno físico es conveniente definir primero un sistema de referencia. En nuestro sistema, el movimiento se efectúa sobre uno de los ejes y por conveniencia la posición de reposo será el origen $y=0$, y se tomará como positiva la dirección hacia abajo.

1. En el sistema actúa una fuerza $W= mg$ sobre la masa $m$ y tira de ella hacia abajo. Esta fuerza es positiva y debemos notar que el punto de equilibrio depende de la cantidad de masa. La contribución al sistema de esta fuerza es la que corresponde a $m\frac{d^2y}{dt^2}$. La segunda derivada de la posición con respecto al tiempo corresponde a una aceleración y en este caso hace referencia a la gravedad.
2. En la mayoría de los fluidos, como el aire y el agua, tienden a oponerse al movimiento de un objeto. Esta oposición siempre actúa en sentido opuesto al movimiento y con frecuencia se presenta de forma proporcional a la velocidad, por lo que en nuestra ecuación se representa por el segundo término, donde la velocidad es la derivada de la posición con respecto al tiempo.
3. El tercer término $ky$ es la fuerza de restitución del resorte, que es proporcional al alargamiento o acortamiento del resorte y actúa siempre en la dirección del punto de equilibrio.
4. El último término que se encuentra del lado derecho de la ecuación es una fuerza externa que se aplica a la masa y dependerá explícitamente del tiempo. Un ejemplo de esta fuerza puede verse cuando el sistema se somete a un campo magnético o simplemente a una corriente de aire que afecta al sistema de forma periódica.

En el sistema que se presenta a continuación no hay fuerzas externas y se considera una fuerza de fricción debido a la presencia de aire. A diferencia de la animación anterior, ésta se detiene en algún momento precisamente por la presencia de la fuerza de fricción.