Ecuación diferencial de Bernoulli

Una E.D. (Ecuación diferencial) de la forma $\frac{dy}{dx} + p(x) y = Q(x) y^n$ con $n\neq0$ y $n\neq1$, se le llama E.D. de Bernoulli y es una E.D. no lineal de primer orden. Si $n=0$ la ecuación quedaría como $\frac{dy}{dx} + p(x) y = Q(x)$, que es una ecuación lineal no homogénea y sería fácil resolverla, pues si $n=1$ la ecuación quedaría como $\frac{dy}{dx} + (p(x) - Q(x)) y = 0$ ⇒ $\frac{dy}{dx} + R(x) y = 0$ que es una E.D. lineal homogénea, que es mucho más fácil de resolver que la ecuación anterior.

La ecuación de Bernoulli se puede convertir en una E.D. lineal de primer orden mediante la sustitución $w = y^{1-n}$:

Esto implica que nos podemos centrar simplemente en resolver E.D. lineales de primer orden. A continuación veremos un ejemplo de una ecuación de Bernoulli.

Ejemplo:

Sea la ecuación $xy(1+xy^2) \frac{dy}{dx} = 1$ con $y(1) = 0$.
Solución:
Despejamos $\frac{dy}{dx}$ y obtenemos $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{xy(1+xy^2)}$, invertimos la ecuación

$$\frac{dx}{dy} = xy(1+xy^2) = xy + x^2y^3 ⇒ \frac{dx}{dy} - xy = x^2y^3 \tag{1}$$

Ésta última tiene la forma de la ecuación de Bernoulli con variable dependiente $x$, y con $n=2$. Hagamos $w = x^{1-n} = x^{1-2} = x^{-1}$ ⇒ $x = w^{-1}$, derivamos ésta última con respecto as $y$ y obtenemos $\frac {dx}{dy} = -w^{-2} \frac{dw}{dy}$. Sustituimos en (1) para obtener $-w^{-2} \frac{dw}{dy} - yw^{-1} = y^3 w^{-2}$, multiplicamos por $-w^{2}$ y finalmente nos queda $\frac{dw}{dy} + yw = -y^3$, una E.D. lineal de primer orden donde $p(y) = y; Q(y) = -y^3$

La función solución a la ecuación diferencial se puede obtener mediante el método del factor integrante. La función es:

Como hicimos un cambio de variable, tenemos que regresar a las variables originales utilizando el mismo cambio de variables:

Como ya hemos visto, esta solución obtenida es la solución general, y a partir de ésta, junto con las condiciones iniciales, podemos obtener la ecuación particular. Como $y(1) = 0$ podemos evaluar estos valores, despejamos a c y obtenemos que $c = -1$, por lo tanto la solución particular es: