Sistemas dinámicos

Las ecuaciones diferenciales son muy útiles cuando se quiere modelar un fenómeno físico, y para estos casos, los cambios en el fenómeno están determinados por los cambios en el tiempo, por lo que la variable independiente es el tiempo $t$ . A tales situaciones se les conoce como sistemas dinámicos. La forma general de sistemas dinámicos es $F(t, y(t), y'(t))=0$ .
Discutiremos un modelo biológico de crecimiento de población, que nos servirá para entender el camino a seguir en la construcción de un modelo matemático.

Para inicar la discución es necesario realizar una abstracción de las partes del sistema que nos interesan, y cuya interacción es determinante para el estudio de los procesos que se quieren estudiar.
Para realizar esta abstracción podemos seguir los siguientes pasos:

1. Listar todos los elementos que constituyen el sistema,
2. Especificar las propiedades del sistema cuyo cambio se quiere estudiar y
3. Tomar en cuenta todos aquellos agentes externos al sistema que a través de su interacción con éste pueden afectar de manera relevante las propiedades de interés.

Estudiaremos la forma en que el número de integrantes (presas) de una población cambia en el tiempo. Los factores a tomar en cuenta son: la interacción entre ellos para aumentar el número de individuos, y la interacción con otra especie (depredadores), que provoca una disminución en el número total de la población. Al número de individuos al tiempo $t$ lo denotaremos como $N(t)$ y estará balanceado por los fenómenos de natalidad y mortalidad. Podemos expresar el sitema como:

$\frac{dN}{dt} = N(n-m)$

$\frac{dN}{dt}$ representa el cambio en el número de individuos en la población al tiempo $t$ .
$n(N,t)$ es el número de nacimientos por unidad de tiempo y por poblador (natalidad).
$m(N,t)$ es el número de muertes por unidad de tiempo y por poblador (mortalidad).

Note que la natalidad y mortalidad son parámetros que dependen del número de individuos de la población al tiempo

$t$ . La diferencia

$n-m$ representa la sobrevivencia de la especie quitando

$m$ presas cazadas a

$n$ nacimientos en la población. En general la ecuación nos dice que el cambio en la población es proporcional a la población y a los parámetros de natalidad y mortalidad.
Vamos a considerar que el número de presas cazadas es equivalente al número de nacimientos, entonces la diferencia se mantiene constante, es decir

$n-m=k$ en consecuencia tenemos:

$\frac{dN}{dt} = Nk$ ⇒

$\frac{1}{N} \frac{dN}{dt} = k$

Observamos que

$\frac{1}{N}\frac{dN}{dt}= \frac{d}{dt}ln(N)$ entonces obtenemos:

$\frac{d}{dt} ln(N) = k$

$\int \frac{d}{dt} ln(N) dt = \int k dt$

$ln(N(t))=kt+c_1$

$N(t) = e^{kt+c_1}$

$N(t) = e^{c_1} e^{kt}$

$N(t) = ce^{kt}$

El conjunto de funciones que satisfacen este problema es de la forma

$ce^{kt}$ . Definimos

$c=N_0$ donde

$N_0$ es la población al tiempo

$t=0$ .

En el siguiente apartado analizaremos qué significa ésto.

Créditos

Escena original

Diseño del contenido	Víctor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias UNAM, LITE)
Diseño funcional	Víctor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias UNAM, LITE)
Programación	Víctor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias UNAM, LITE)
Diseño gráfico	Ricardo López Gómez
Coordinación	Leticia Montserrat Vargas Rocha

Adaptación

Diseño funcional	Victor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias, UNAM)
Programación	Victor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias, UNAM)
Diseño gráfico	Francisco Varela Fuentes
Coordinación	Leticia Montserrat Vargas Rocha

Los contenidos de esta unidad didáctica interactiva están bajo una licencia Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-CompartirIgual.

La unidad didáctica fue creada con Arquímedes, una herramienta de código abierto.

La unidad didáctica contiene escenas elaboradas con Descartes, una herramienta de código abierto.

LITE - UnADM 2014