¿Qué significa resolver una ecuación diferencial y cómo podemos resolverla? Para responder esta pregunta nos servirá analizar ecuaciones algebraicas de la forma $F(x) = 0$ por ejemplo $x^2 - 4x + 3 = 0$ cuyas soluciones son un conjunto de valores los cuales puede tomar la variable $x$ de tal forma que satisface la ecuación. Cabe mencionar que el conjunto está restringido a un cierto número valores, para esta ecuación el conjunto está compuesto por dos elementos {1,3} y se puede decir que 1 y 3 son soluciones de la ecuación.

Las soluciones de ecuaciones con dos variables están dadas por un conjunto de parejas ordenadas, cuyos valores corresponden a cada variable. Por ejemplo para la ecuación $y - 3x = 0$ necesitamos conjuntos de parejas de tal forma que al evaluarlas se satisface la ecuación. La ecuación tiene diversas soluciones, y si queremos alguna que nos interese podemos asignar un valor arbitrario a una de las variables (condición inicial), despejamos la otra y obtenemos su valor. Algunas soluciones son {(1,3),(2,6),(3,9),...}.

De forma análoga a los ejemplos anteriores, cuando se nos presenta una ecuación diferencial de la forma $F(x,f(x),f'(x)) = 0$, se piensa que existe un cierto conjunto de funciones donde la ecuación está bien definida. Dichas funciones deben tener derivadas hasta de orden n, y para este caso necesariamente tendrá que ser un subconjunto del conjunto de funciones. Por solución de una ecuación diferencial se entenderá la función $f(x)$ que junto con sus derivadas, al evaluarse en la ecuación se satisface la relación. Por ejemplo la función:

es una solución de la ecuación diferencial de segundo orden:

Si obtenemos $y''(x)$ y evaluamos en la ecuación tanto $y(x)$ como $y''(x)$ vemos que la ecuación se satisface. ©