Ejes de simetría y vértice del lugar geométrico definido por una ecuación de tipo parabólico

En el caso parabólico, es decir cuando $ac-\frac{b^2}{4}=0$, hay que hacer la rotación sin haber hecho una traslación, para lo cual se usa el mismo ángulo:

$\theta =\frac{atan(\frac{b}{a-c})}{2}$ si $a\neq c$ y $\theta =\frac{\pi}{4}$ si $a=c$.
Sustituyendo $x$ por $xcos\theta +ysen \theta$ y $y$ por $-xsen \theta +y cos \theta$, se obtiene la ecuación: $$Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0$$ donde $$A=a cos^2 \theta +bcos \theta sen \theta +csen^2\theta$$ $$C=asen^2 \theta -bcos \theta sen \theta +c cos^2 \theta$$ $$D=d cos \theta -e sen \theta$$ $$E=d sen \theta + e ocs \theta$$ Pero siempre ocurre que $A=0$ o $C=0$, porque, como se puede demostar para este valor de $\theta$: $AC=ac-\frac{b^2}{4}$

El resto del análisis conviene separarlo en dos casos:

Caso 1) $C=0$

Para completar cuadrados definimos $h=\frac{D}{2A}$ con lo que la ecuación queda así: $$A(x-h)^2+Ey+F-Ah^2=0$$ Lo cual sugiere definir $k=\frac{Ah^2-F}{E}$ si $E \neq 0$, y $k=0$ cuando $E=0$. Con esto la ecuación adquiere la forma $$A(x-h)^2+E(y-k)=0$$

Caso 2) $A=0$

Para completar cuadrados definimos $k=\frac{E}{2C}$ con lo que la ecuación queda así: $$C(y-k)^2+Dx+F-Ch^2=0$$ Lo cual sugiere definir $h=\frac{Ck^2-F}{D}$ si $D \neq 0$, y $h=0$ cuando $D=0$. Con esto la ecuación adquiere la forma $$C(y-k)^2+D(x-h)=0$$ En ambos casos se obtuvo la ecuación de una parábola (o dos rectas paralelas) cuando en el caso 1 $E=0$, o en el caso 2 $D=0$.

El punto $(h,k)$ es el vértice de la parábola girada por el ángulo $θ$. Así que para obtener el vértice de la parábola original hay que aplicar la rotación inversa: $$\begin{bmatrix} h_0 \\ k_0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos \theta & sen \theta \\ -sen \theta & cos \theta \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} h \\ k \\ \end{bmatrix}$$

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