Ejes de simetría del lugar geométrico definido por una ecuación general de segundo grado

La rotación por un ángulo $\theta$ se obtiene cambiando la coordenada $x$ por $$x cos \theta − y sen \theta$$ y la coordenada y por $$x sen \theta + y cos \theta$$ Estos cambios llevan la ecuación con centro en el origen: $$a x^2+b xy+c y^2+F=0 \tag{1}$$ a la forma $$a(x cos\theta −y sen \theta )^2+b(x cos \theta −y sen \theta )(x sen \theta +y cos \theta)+c(x sen \theta +y sen \theta )^2+F=0 \tag{2}$$ y puede escribirse así: $$Ax^2+Bxy+Cy^2+F=0 \tag{3}$$ donde: $$A=a cos^2 \theta +b cos \theta sen \theta +c sen^2 \theta$$ $$B=a(2cos\theta sen\theta )+b(cos^2 \theta −sen^2 \theta )−c(2cos \theta sen \theta )$$ $$C=asen^2 \theta −bsen \theta cos \theta +c cos^2\theta$$ Usando las fórmulas del $seno$ y el $coseno$ del doble de un ángulo: $$sen2\theta =2sen \theta cos\theta$$ $$cos2\theta =cos^2\theta -sen^2\theta$$ el nuevo coeficiente del término cruzado puede escribirse como: $$B=(a-c)sen(2\theta )-bcos(2\theta )$$ y éste coeficiente se anula si $\theta =\frac{atan(\frac{b}{a-c})}{2}$, esto cuando $a \neq c$. Cuando $a=c$ podemos anularlo tomando $\theta =\frac{\pi }{4}$ (es decir, $45°$).

Tomando este valor de $\theta$ la ecuación toma la forma simple $$Ax^2+Cy^2+F=0 \tag{4}$$ Ésta puede reescribirse como $\pm \frac{x^2}{\alpha ^2} \pm \frac{y^2}{\beta ^2}=1$ mediante las siguientes definiciones:

$\alpha =\sqrt{|{\frac{F}{A}}|}$ y $\beta=\sqrt{|{ \frac{F}{C}}|}$

• (E) Caso elíptico: $AC>0$, es decir, $A$ y $C$ tienen el mismo signo. Ambos signos serán positivos si $A$ y $C$ tienen el mismo signo y $F$ tiene el contrario. Entonces la ecuación es la de una elipse. Si $A$ y $C$ tiene el mismo signo y $F=0$ entonces la ecuación es la de un solo punto, concretamente, el origen. Si $A$, $C$ y $F$ tienen el mismo signo entonces la ecuación no tiene soluciones, es decir, el lugar geométrico que define es vacío.
  
  
• (H) Caso hiperbólico: $AC<0$, es decir, $A$ y $C$ tienen signos opuestos. En este caso uno de los dos signos será positivo y el otro negativo. Concretamente, el signo negativo va en el primer sitio si $F$ tiene el mismo signo que $A$ y en el segundo sitio si $F$ tiene el mismo signo que $C$. Cuando $F$ es cero la ecuación se reduce a $$\frac{x^2}{\alpha ^2}=\frac{y^2}{\beta ^2}$$ o, equivalentemente, $$\pm \frac{x}{\alpha}= \pm \frac{y}{\beta}$$ que representa a dos rectas.

Se puede demostrar que $\Delta =ac-\frac{b^2}{4}=AC$ con lo que antes de hacer el análisis completo se puede saber si la ecuación es de tipo elíptico o hiperbólico según el signo de $\Delta$.

La forma cuadrática: $$ax^2+bxy+cy^2 \tag{5}$$ puede identificarse con la matriz simétrica: $$M= \begin{bmatrix} a & \frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} & c \\ \end{bmatrix}$$ mediante el producto $r^tMr$ donde $\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix}$ es el vector columna cuyas coordenadas son $x$ y $y$ y $r^t=[x \quad y]$ es el vector transpuesto de $r$.

Es fácil comprobar que con estas definiciones, $$r^tMr=ax^2+bxy+cy^2$$ La transformación del plano correspondientes a esta matriz deja unos vectores invariantes. Para encontrarlos encontramos primero los valores propios o eigenvalores de M, que son los números reales $λ_1$ y $λ_2$, que son las soluciones de la ecuación cuadrática: $$(a-λ)(c-λ)-\frac{b^2}{4}=0$$ Esta ecuación cuadrática tiene siempre dos soluciones reales: $$λ_i=\frac{a+c \pm \sqrt{(a-c)^2+b^2} } {2}$$

Los eigenvalores ${λ_i}$ tienen la propiedad de hacer que los sistemas de ecuaciones: $$(a-λ_i)x+\frac{b}{2}y=0$$ $$\frac{b}{2}x+(c-λ_i)y=0$$ con $i = 1, 2$, tienen soluciones no triviales que son dos vectores $e_1=\begin{bmatrix}x_1 \\ y_1 \\ \end{bmatrix}$, $e_2=\begin{bmatrix}x_2 \\ y_2 \\ \end{bmatrix}$, los cuales elegiremos de magnitud $1$. En efecto, podemos tomar para $i = 1, 2$:

$x_i=\frac{b}{2}$, $y_i=λ_i-a$, $r_i=\sqrt{x_i^2+y_i^2}$ y finalmente tomamos $x_i=\frac{x_i}{r_i}$ y $y_i=\frac{y_i}{r_i}$ para normalizar los vectores.

Estos vectores $e_1$ y $e_2$ se llaman eigenvectores o vectores propios de la matriz $M$ y son casi invariantes ante $M$, pues $Me_i=λ_ie_i$. Además, coinciden con las direcciones de los ejes principales de nuestro lugar geométrico.

Las flechas rojas que aparecen en la escena son los eigenvectores de la matriz $M$ y se calculan precisamente como acabamos de describir. Es importante notar que los eigenvectores son ortogonales entre sí y de hecho la matriz cuadrada que forman es una rotación. Más aún: $$\begin{bmatrix} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} cos \theta & sen\theta \\ -sen\theta & cos\theta \\\end{bmatrix}$$ La gran ventaja del método de eigenvalores y eigenvectores es que puede aplicarse también a formas cuadráticas en tres o más variables. De hecho la idea de diagonalizar matrices simétricas puede generalizarse a operadores en espacios de dimensión infinita y tiene aplicaciones importantes en la Física. Por ejemplo, los eigenvalores de cierto operador son los niveles de energía de los átomos.

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