Los lugares geométricos de las ecuaciones de segundo grado en dos variables: $$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0 \tag{1}$$ son precisamente las curvas cónicas, incluyendo los casos degenerados: el vacío, un punto, una recta, o dos rectas.

La demostración de este hecho puede hacerse mediante un cambio de coordenadas, específicamente, una rotación, cuyo efecto es hacer desaparecer el término mixto en $xy$. Luego, si sigue habiendo términos en $x^2$ y en $y^2$, completando cuadrados se encuentra una traslación que hace desaparecer los términos en $x$ y en $y$, con lo cual se llega a una ecuación de la forma: $$ax^2+cy^2+f=0\tag{2}$$

Si uno de los términos cuadráticos no existe, una traslación lleva a una de estas dos formas: $$\begin{equation}ax^2+ey+f=0\end{equation}$$ o $$cy^2+dx+f=0\tag{3}$$ Finalmente, si no hay términos cuadráticos, la ecuación tiene la forma $$dx+ey+f=0\tag{4}$$ Es evidente que si la forma $(4)$, representa una recta y que las formas $(3)$ representan parábolas, la primera con eje vertical y la segunda con eje horizontal. Finalmente la forma $(2)$ conviene separarla en dos casos:

• (H) Cuando los coeficientes $a$ y $c$ tiene signos opuestos se dice que la ecuación es hiperbólica y, en efecto, representa una hipérbola, siempre y cuando $f$ no se anule. Cuando $f=0$, entonces se obtiene la ecuación de dos rectas que se cruzan en el origen.
• (E) Cuando $a$ y $c$ tienen el mismo signo, se dice que la ecuación es elíptica. Si $f$ tiene el mismo signo que $a$ y $c$, la solición es el conjunto vacío. Si $f=0$, la solución es un punto, específicamente, el origen y, finalmente, $f$ tiene signo contrario al de $a$ y $c$, la solución es una elipse (un círculo cuando $a=c$).

En esta unidad didáctica demostraremos que efectivamente la ecuación (1) puede convertirse en una de las formas (2), (3) o (4) mediante una rotación y una traslación. Pero además veremos que las formas cuadráticas: $$ax^2+bxy+cy^2\tag{5}$$ pueden identificarse con las matrices simétricas: $$M= \begin{bmatrix} a & \frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} & a \\ \end{bmatrix}$$ mediante el producto $r^tMr$ donde $r=\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix}$ es el vector columna cuyas coordenadas son $x$ y $y$, y $r^t=[x\quad y]$ es el vector transpuesto de $r$.

Es fácil comprobar que con estas definiciones, $$r^tMr=ax^2+bxy+cy^2$$ Estudiaremos las transformaciones del plano que corresponden a estas matrices simétricas y demostraremos que la rotación que elimina el término $xy$ en la forma cuadrática es la misma que diagonaliza la matriz $A$, es decir, la lleva a la forma diagonal: $$\begin{bmatrix} λ_1 & 0 \\ 0 & λ_2 \\ \end{bmatrix}$$ Veremos que el proceso de diagonalizar la matriz simétrica $A$ puede hacerse con un método general consistente en encontrar los ceros del llamado polinomio característico: $$(a-λ)(c-λ)-\frac{b^2}{4}=0$$ cuyas soluciones $λ_1$ y $λ_2$ se denominan eigenvalores o valores propios de la matriz.

Los eigenvalores ${λ_i}$ tienen la propiedad de hacer que los sistemas de ecuaciones: $$(a-λ_i)x+\frac{b}{2} y=0$$ $$\frac{b}{2} x+ (c-λ_i)y=0$$ tengan soluciones no triviales, que son dos vectores $\begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \\ \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} x_2 \\ y _2 \\ \end{bmatrix}$, los cuales pueden elegirse de magnitud $1$. Estos vectores se llaman eigenvectores o vectores propios de la matriz $A$ y coinciden con las direcciones de los ejes principales de la curva cónica.

Todo esto lo demostraremos en el Desarrollo de esta unidad didáctica.

La gran ventaja del método de eigenvalores y eigenvectores es que puede aplicarse también a formas cuadráticas en tres o más variables. De hecho la idea de diagonalizar matrices simétricas puede generalizarse a operadores en espacios de dimensión infinita y tiene aplicaciones importantes en la Física. Por ejemplo, los eigenvalores de cierto operador son los niveles de energía de los átomos.

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