Como recordarás, una transformación lineal entre dos espacios vectoriales $E$ y $F$ es una correspondencia $A:E \longrightarrow F$ que a cada vector $v\in E$ le asigna un vector $A(v)=Av \in F$ tal que, para cualesquiera $u, v \in E$ y $\alpha \in \mathbb{R}$ se cumplan las relaciones:

  $$\begin{eqnarray} \nonumber A(u+v) & = & Au+ Av,\\ \nonumber A(\alpha v) & = & \alpha \cdot Av \\ \end{eqnarray}$$    

Rotaciones

 

La rotación de un ángulo $\theta$ en torno del origen de $\mathbb{R}^2$, es un operador $R:\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$, que lleva cada vector $v$ en el vector $Rv$ que resulta de $v$ por la rotación de un ángulo $\theta$ en torno del origen. En la siguiente figura, es evidente cómo $R(u+v) = R\cdot u+ R\cdot v$ y $R(\alpha v)=\alpha R \cdot v$ para $v \in \mathbb{R}^2$ y $\alpha \in \mathbb{R}$: Luego $R$ es una transformación lineal, ¡pero ésto ya lo sabías!.

 

Finalmente, para determinar la matríz de rotación para un vector arbitrario $v=\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^2$, sea $R\cdot v = \left( x^{\prime },y^{\prime }\right)$. Sabemos que

$$\begin{eqnarray*} \nonumber x^{\prime } & = & ax+by, \\ \nonumber y^{\prime } & = & cx+dy, \\ \end{eqnarray*}$$

y queremos determinar la matriz

$$\begin{equation} \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d% \end{array}% \right) \end{equation}$$  

dónde $Re_{1}=(a,c)$ y $Re_{2}=(b,d)$, con $e_{1}=(1,0)$ y $e_{2}=(0,1)$.

 

Recordemos que, por las definiciones de seno y coseno, el vector $Re_{1}$ (que forma con $e_{1}$ un ángulo $\theta$, tiene coordenadas $Re_{1}= (\cos \theta, \sin \theta)$, y cómo $e_{1}\perp e_{2}$ tendremos que $Re_{1}\perp Re_{2}$, luego $Re_{2}= (-\sin \theta, \cos \theta)$.

 

De modo que la rotación $R:\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ lleva un vector $v=(x,y)$ en el vector $Rv=(x^{\prime },y^{\prime })$, donde

$$\begin{eqnarray*} \nonumber x^{\prime} & = & x\cos \theta - y\sin \theta, \\ \nonumber y^{\prime} & = & x\sin \theta + y\cos \theta. \\ \end{eqnarray*}$$  

Y por lo tanto, la matriz $R$, relativa la base canónica de $\mathbb{R}^2$ es

  $$\begin{equation} \left( \begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta% \end{array}% \right) \end{equation}$$    

Proyección ortogonal sobre una recta

Como recordarás, la recta $y=ax$ es el conjunto de puntos $(x,ax) \in \mathbb{R}^2$ donde $x$ varía en $\mathbb{R}$. A su vez, es el subespacio vectorial de $\mathbb{R}^2$ generado por el vector $(1,\alpha)$. Sea $P: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ el operador que a cada $v=(x,y) \in \mathbb{R}^2$ le hace corresponder el vector $Pv=(x^{\prime}, a x^{\prime})$ que tiene por extremo el pie de la perpendicular que parte de $v$ hacia la recta $y=ax$.

   

Nos gustaría poder calcular $x^{\prime}$ en función de $x$ e $y$, con lo que obtendríamos las coordenadas $(x^{\prime},ax^{\prime})$ de $Pv$ en función de las coordenadas de $v$. Cuándo $a=0$, la recta $y=ax$ es el eje de las abcisas y la proyección $Pv$ será, justamente, igual a $(x,0)$. Por lo tanto, las ecuaciones de la proyección $P$ sobre el eje horizontal son $x^{\prime}=x$, $y^{\prime}=0$. Así, la matriz de $P$ en la base canónica de $\mathbb{R}^2$ es $\bigl(\begin{smallmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{smallmatrix} \bigr)$. Y como caso general, el extremo del vector $Pv$ será el vértice del ángulo recto en un triángulo rectángulo cuyos otros vértices son el origen y el extremo del vector $v$.

 

Aplicando el Teorema de Pitágoras, veremos que:

  $$\begin{equation} (\textsf{dist}(v,0))^2 = (\textsf{dist}(Pv,0))^2 + (\textsf{dist}(v,Pv))^2 \end{equation}$$  

luego

  $$\begin{equation} x^2 + y^2 = (x^{\prime})^2 + (x - x^{\prime})^2 + (y - ax^{\prime})^2. \end{equation}$$  

Supongamos $x^{\prime} \neq 0$. Desarrollando, simplificando y dividiendo ambos términos de la igualdad entre $x^{\prime}$ obtenemos $(1+a^2)x^{\prime}=x+ay$, a partir de dónde $x^{\prime}=\frac{x+ay}{1+a^2}$, luego $x^{\prime}=\frac{1}{1+a^2}x+\frac{a}{a+a^2}y$.

 

El caso $x^{\prime}$ nos dice que $v=(x,y)$ está sobre la recta perpendicular a la recta $y=ax$ pasando por el origen. Pero la ecuación de dicha perpendicular es $x + ay = 0$, luego la la expresión $x^{\prime} = (x+ay) \diagup (1+a^2)$ establece en todos los casos a $x^{\prime}$ en función de $x$ e $y$. Notemos que en particular, la proyección $P: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ es un operador lineal, y su matriz en la base canónica de $\mathbb{R}^2$ es

  $$\begin{equation} \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{1+a^2} & \frac{a}{1+a^2} \\ \frac{a}{1+a^2} & \frac{a^2}{1+a^2}% \end{array}% \right) \end{equation}$$    

Reflexiones

 

Tomemos $S: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ la reflexión respecto a la recta $y=ax$. Y observemos que, para todo $v=(x,y) \in \mathbb{R}^2$ la recta $y=ax$ es la bisectriz del ángulo entre $v$ y $Sv$, además es perpendicular a la recta que pasa por $v$ y $Sv$. Sea $P: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ la proyección ortogonal sobre la recta $y=ax$. La siguiente figura, muestra que, para todo $v \in \mathbb{R}^2$, se tiene $v+Sv=2Pv$, es decir, que $I+S=2P$, donde $I: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ es el operador indentidad.

   

De aquí se deduce, que $S=2P-I$, y por lo que vimos en el caso de las proyecciones, concluimos que, para todo $v=(x,y)$, se cumple que $Sv=(x^{\prime},y^{\prime})$. Donde $(x^{\prime},y^{\prime})$ resulta de aplicarle a $(x,y)$ la siguiente matriz

  $$\begin{equation} \left( \begin{array}{cc} \frac{1-a^2}{1+a^2} & \frac{2a}{1+a^2} \\ \frac{2a}{1+a^2} & \frac{a^2 - 1}{1+a^2}% \end{array}% \right). \end{equation}$$

Homotecias

 

El caso de las homotecias es mucho más simple, pues se trata de un cambio en la escala, es decir si $H: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ es el operador que a cada vector $v \in \mathbb{R}^2$ le asocia el vector $Hv=k\cdot v$, con $k \in \mathbb{R}$ la constante de homotecia, evidentemente el operador $H$ será una transformación lineal; luego, bajo el cambio de escala obtendremos que si $e_{1}=(1,0)$, $e_{2}=(0,1)$ entonces $He_{1}=(k,0)$ y $He_{2}=(0,k)$. De donde se deduce que la matriz asociada a esta transformación lineal es:

  $$\begin{equation} \left( \begin{array}{cc} k & 0 \\ 0 & k% \end{array}% \right) \end{equation}$$