Síntesis

Para cerrar esta unidad haremos una síntesis de los casos que hemos visto en ella. Hay diferentes tipos de discontinuidades, dependiendo de qué parte de la definición de función continua no se cumpla:

1. Si la función no está definida en un punto, por lo que la función no existe en ese punto.


2. Si el límite de la función no existe cuando x tiende a cierto valor.


3. si el límite de la función en cierto valor no iguala a la función evaluada en ese valor.

En la primera escena del Desarrollo estudiamos una función que ejemplifica el tercer caso. En este caso existe el límite cuando $x$ tiende al valor donde la gráfica tiene un "hueco", pues aunque el valor del límite es distinto al valor de la función evaluada en ese punto, los límites por la izquierda y por la derecha existen y son el mismo.

En la segunda escena del Desarrollo vimos dos funciones que tienen una discontinuidad de salto que ejemplifican el segundo caso. En estos dos ejemplos, si agregáramos un punto de manera que la función sí está definida en el valor donde tiene el salto ¿existiría el límite? La respuesta es no. Contrario a lo que sucede en el ejemplo de la primera escena del Desarrollo, en las funciones con un salto los límites laterales son distintos, por lo que el límite en el valor donde se encuentra el salto no existe.

Finalmente vimos tres ejemplos del primer caso en la tercera escena del Desarrollo. En el ejemplo 1, la función oscila entre $-1$ y $1$ conforme $x$ tiende a $0$ por lo que el límite no puede ser un valor específico, o sea que dicho límite no existe. El ejemplo 2 muestra una función cuyos límites laterales cuando $x$ tiende al valor donde la función no es continua son distintos, pero además no existen, pues su límite por la derecha es $\infty$ y su límite por la izquierda es $-\infty$. Y el ejemplo 3 muestra que aunque los límites laterales son iguales el límite no existe, pues estos límites son ambos $\infty$, es decir que no existen.

Éstos dos últimos ejemplos motivan la definición de límites infinitos:

Definición

1. Decimos que $f(x)$ tiende a infinito cuando $x$ tiende a $x_0$, es decir $$\lim_{x \rightarrow x_0} f(x)= \infty$$ si para todo número real positivo $B$ existe una $\delta>0$ correspondiente, tal que para toda $x$ $$0<|x-x_0|< \delta \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ f(x)>B$$


2. Decimos que $f(x)$ tiende a menos infinito cuando $x$ tiende a $x_0$, es decir $$\lim_{x \rightarrow x_0} f(x)=- \infty$$ si para todo número real negativo $-B$ existe una $\delta>0$ correspondiente, tal que para toda $x$ $$0<|x-x_0|< \delta \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ f(x)>-B$$

Las definiciones precisas de los límites laterales infinitos en $x_0$ son similares.

Diagrama de la definición de límites infinitos. Observa que en estos ejemplos, cuando $x_0=2$ y $x \in (x_0-\delta ,x_0+\delta )$, $f(x) > B$ y $f(x) < -B$ respectivamente. Sin embargo, cuando $x_0 \neq 2$ eso no pasa, es decir que en estos dos ejemplos, el límite de la función existe para $x_0 \neq 2$.