Las coordenadas esféricas nos dan la localización de puntos en el espacio por medio de dos ángulos y de una distancia, como se muestra en la figura. La primera coordenada, $\rho= |\vec{OP}|$, es la distancia del punto $P$ al origen, por lo que, al contrario de $r$, $\rho$ nunca es negativa. La segunda coordenada, $\phi$, es el ángulo que $|\vec{OP}|$ que hace con el $eje-z$. Es necesario que esté en el intervalo $[0, \pi ]$. La tercera coordenada es el ángulo $\theta$ como se mide en las coordenadas cilíndricas, y está en el intervalo $[0, 2\pi ]$.

En la figura de la izquierda se ilustra la relación de las coordenadas esféricas $\rho$, $\phi$ y $\theta$ con $x$, $y$, $z$ y $r$. En la figura de la derecha se ilustran las superficies obtenidas al hacer una de las coordenadas constante: esferas, conos y medios planos.

Definición

Las coordenadas esféricas representan un punto $P$ en el espacio con $(\rho,\phi,\theta)$, donde

• $\rho$ es la distancia de $P$ al origen.
• $\phi$ es el ángulo que $|\vec{OP}|$ hace con el $eje-z$ positivo ($0\leq \phi \leq \pi$ ).
• $\theta$ es el mismo ángulo que en las coordenadas cilíndricas ($0\leq \theta \leq 2\pi$ ).

Los valores de $x$, $y$, $r$ y $\theta$ y las coordenadas cilíndricas están relacionadas por las ecuaciones $$r=\rho sen \phi, \ \ \ \ \ x=r cos \theta=\rho sen \phi cos \theta,$$ $$z= \rho cos \phi, \ \ \ \ \ y=r sen \theta = \rho sen \phi sen \theta,$$ $$\rho= \sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{r^2+z^2}$$