El gradiente nos indica el sentido de crecimiento más rápido de una función en un punto dado. La derivada direccional nos ayuda a encontrar el valor máximo en el sentido del gradiente, es por esta razón que iniciaremos definiendo lo que es la derivada direccional.

La derivada direccional de una función multivariable sobre un vector dado, representa la tasa de cambio de la función en la dirección de dicho vector. Este concepto generaliza a las derivadas parciales, ya que estas son derivadas direccionales en los vectores paralelos a los ejes.

La noción geométrica de la derivada direccional se puede entender a partir de la idea de la pendiente de la recta tangente a las curvas de intersección de una superficie con el plano vertical que contiene a la dirección dada.

Si tenemos una función $z=f(x,y)$, sus derivadas parciales $f_x$ y $f_y$ se definen como:

La derivadas parciales nos dan información de cómo es la razón de cambio de $z$ a partir de un punto $P=(x_0, y_0)$, ya sea en las dirección del eje $X$ o del eje $Y$. Estos ejes se representan con los vectores unitarios $\vec{i}$ y $\vec{j}$.

En casos como el del mapa del clima, no sólo nos interesa conocer la razón de cambio en las direcciones de $\vec{i}$ y $\vec{j}$, sino también en la dirección de cualquier vector unitario arbitrario $\vec{u}$$=(a, b)$. Esta razón de cambio está representada por la derivada direccional definida como :

Podemos observar que si $\vec{u} = \vec{i}$$=(1,0)$, entonces $D_if=f_x$, y si $\vec{u} = \vec{j}$$=(0,1)$, entonces $D_jf=f_y$. Lo que muestra que las derivadas parciales en $x$ y $y$ son justamente casos especiales de la derivada direccional.

Cuando se calcula la derivada direccional de una función que está definida por medio de una fórmula, podemos afirmar que:

Si $f$ es una función diferenciable de $x$ y de $y$, entonces $f$ tiene una derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario $\vec{u}$$=(a,b)$ definida como: