Velocidad y aceleración

En el Inicio mencionamos que si la función $\textbf{r}(t)=f(t)\textbf{i}+g(t)\textbf{j}+h(t)\textbf{k}$ es dos veces diferenciable, podemos obtener vectores de velocidad y de aceleración de la partícula en cada momento $t$, y éstos determinan su comportamiento.

Si $\textbf{r}$ es el vector de posición de una partícula que se mueve sobre una curva suave en el espacio, entonces

$$\textbf{v}(t)=\frac{d\textbf{r}}{dt}$$ es el $vector$ $velocidad$ de la partícula y es tangente a la curva. En cualquier momento $t$, la dirección del vector $\textbf{v}$ es la $dirección$ $del$ $movimiento$, la magnitud de $\textbf{v}$ es la $rapidez$, y la derivada de $\textbf{v}$, $\frac{d\textbf{v}}{dt}=\textbf{a}$, si existe, es el $vector$ $aceleración$ de la partícula.

Una curva definida por $\textbf{r}$ es $suave$ si $\frac{d\textbf{r}}{dt}$ es contínua y distinta de $0$, o sea, cuando $f$, $g$ y $h$ tienen primera derivada continua y no son cero simultáneamente.

Marco de Frenet

Hay tres vectores ortogonales que determinan las características de la trayectoria de una partícula en cada punto. Se conoce como $marco$ $de$ $Frenet$ o $marco$ $\textbf{TNB}$, pues justamente está compuesto por los vectores representativos de la dirección del movimiento de la partícula, de cómo se curva y de cómo se tuerce. El primer vector es el vector unitario $\textbf{T}=\frac{\textbf{v}}{|v|}$ tangente a la trayectoria. El segundo representa la dirección en la que gira la trayectoria, el vector normal unitario $\textbf{N}=\frac{1}{k} \frac{d\textbf{T}}{ds}$, donde $k$ es la $curvatura$ y $s$ es el $parámetro$ $de$ $longitud$ $de$ $arco$ de la curva. El tercer vector representa la tendencia del movimiento de la partícula a "torcerse" y está definido como $\textbf{B}=\textbf{T}\times\textbf{N}$.

En el siguiente video podrás observar cómo es este marco a lo largo de una curva. El círculo azul es un círculo con la misma curvatura que la curva en cada punto.