Definición formal de límite para funciones continuas

El límite de una función se define como sigue:

Sea $f(x)$ una función definida en un intervalo abierto al rededor de $x_0$. Decimos que $f(x)$ se aproxima al límite $L$ cuando $x$ se aproxima a $x_0$ y lo escribimos como

$$lim_{x\rightarrow{x_0}}f(x)=L$$

si, para todo número $\varepsilon>0$, existe un número correspondiente $\delta>0$ tal que para toda $x$

$$0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$$

Si la función es continua $L=f(x_0)$. Es decir $$lim_{x\rightarrow{x_0}}f(x)=f(x_0)$$ De hecho esta es parte de la definición de función continua. Una función $f(x)$ es continua en $x=c$ si y sólo si cumple las tres condiciones siguientes:

1. c está en el dominio de la función, es decir $f(c)$ existe.
2. $f$ tiene límite cuando $x\rightarrow{c}$, es decir $lim_{x\rightarrow{c}}f(x)$ existe.
3. el límite iguala al valor de la función en $c$, es decir $lim_{x\rightarrow{c}}f(x)=f(c)$

En esta unidad trataremos sólo con funciones continuas definidas para todos los números reales, por lo que su límite siempre existirá para cualquier $x_0$ en $\mathbb{R}$, su dominio.

La relación de $\delta$ con $\varepsilon$ en la definición de límite.